实分析/连续性

←极限

实分析 连续性

总变差→

现在我们已经定义了函数的极限，我们现在可以定义函数连续的概念。连续性捕捉了函数“没有突跳或振荡”的直观图像。然而，在本页中，我们将从这个基本的定义转向更有条理的东西；一些严谨的东西。这不仅在实分析中很重要，在其他数学领域也同样重要。

连续性标志着对函数的一种新的分类，尤其是在本页后面解释的定理将被使用时尤为突出。但是，如果线性阅读此，那么需要注意的是，将描述具有比连续性更多属性的函数。例如，初等数学中的函数，如多项式、三角函数以及指数和对数函数，包含比连续函数更多的性质。我们还将看到一些不连续函数的例子，以说明一些不符合条件的常见函数。

定义

I 上的连续函数定义

---

给定一个区间 $I$ 和一个函数 $f:I\to \mathbb {R}$，在I上连续被定义为维持以下性质

$\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:\forall x\in I:\exists c\in \mathbb {R} :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

它记为 $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$

读者可能会注意到这个定义与 极限的定义 的相似之处，因为与极限不同，极限中函数 $f$ 可以收敛到任何值，而连续性限制返回值只能是函数 $f$ 被评估时的预期值。这种额外的限制提供了许多新定理，其中一些更重要的定理将在以下标题中显示。

运算

由于极限在代数运算下是保持的，让我们检查一下连续性是否也一样。

代数

我们看到，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在 c 处连续，连续性对于以下情况仍然有效

在代数运算下保持连续性的函数列表

加法	$\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
减法	$\lim _{x\rightarrow c}{(f-g)(x)}=f(c)-g(c)$
乘积	$\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
函数的倍数	$\lim _{x\rightarrow c}{\lambda \cdot g(x)}=\lambda \cdot g(c)$
倒数	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {1}{g}}\right)(x)}={\dfrac {1}{g(c)}}$
除法	$\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{g}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{g(c)}}$

需要注意的是，对于任何除法，g(c) 必须是一个有效数字，即不为 0。

这实际上是极限代数运算的保持性的推论。只需将极限值 *L* 和 *M* 分别替换为 ƒ(c) 和 g(c) 即可。

我们可以使用顺序极限来证明函数是不连续的，如下所示

• $f(x)$ 在 $c$ 处不连续当且仅当存在两个序列 $(x_{n})\rightarrow c$ 和 $(y_{n})\rightarrow c$ 使得 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$.

复合

复合函数要复杂得多，但它仍然像直觉所暗示的那样起作用：两个连续函数的复合仍然是连续函数。

定理

---

如果 $f:B\rightarrow \mathbb {R}$ 在 $g(x)$ 的值域上是连续的，并且 $g:A\rightarrow B$ 在任何区间 $A$ 上是连续的，那么复合函数 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 在 A 上是连续的。

证明过程很简单，只需要满足复合函数 $f$ 和 $g$ 的连续性定义，并基于满足所有变量要求进行变量替换。因此，除了纯粹的定义之外，没有使用代数和定理。

证明复合函数在点 c 处的连续性

首先，我们知道连续性需要满足哪些条件。因此，我们将使用最基本的定义来定义 ε，它满足连续性要求。	令 $\epsilon >0$
由于 f 必须是连续的，我们也写下我们知道为真的一件事——它满足连续性的属性列表。现在，我们将对 δ 变量进行一个小的修改，原因将在后面说明。	$\exists \delta _{1}>0:|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$.
然而，$f$ 还有更多属性。关键在于 $c$ 和 $x$ 代表什么。由于函数 $f$ 在 $g(x)$ 的取值范围内是连续的，这意味着 $f$ 的输入值实际上是 $g$ 的输出值。因此，我们可以用 $g(x)$ 的输出值来有效地替换函数 $f$ 中的 $c$ 和 $x$ 。	$\exists \delta _{1}>0:|g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f\circ g(x)-f\circ g(c)|<\epsilon$.
由于 g 必须是连续的，我们还会写下我们知道是正确的，也就是连续性的定义。	$\exists \delta _{2}>0:|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\epsilon$.
表达式 $|g(x)-g(c)|<\epsilon$ 和 $|g(x)-g(c)|<\delta _{1}$ 非常相似。我们可以利用这个优势，看看是否可以利用我们知道的任何属性。鉴于 $\epsilon$ 的唯一要求是它必须为正数，并且它的不等式关系对任何数都成立，并且 $\delta _{1}$ 是正数，并且是数字，那么我们可以把二者联系起来，将 $\epsilon$ 定义为 $\delta _{1}$。	令 $\epsilon =\delta _{1}$
因此，我们抽象地将连续性的定义串联起来，建立在我们已知为真的基础上；$f$ 和 $g$ 的连续性。阅读此新的蕴涵语句所暗示的有效结果；$f$ 和 $g$ 复合函数的连续性，我们确信我们的断言，即 $f$ 和 $g$ 的复合函数也是连续的。QED。	因此 $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon$ 所以 $f\circ g(x)$ 在 A 上是连续的。
$\square$

三个连续性定理

想想连续性的直观概念。如果你无法想象一个多项式函数的图像，它总是有效的。当它穿过函数域时，平滑曲线是连续性的图形表示。但是，我们如何在数学上知道它是连续的呢？好吧，我们将从三个连续性定理开始，这些定理将验证这种概念。

介值定理

这是关于连续性的一个重要定理。它本质上说连续函数没有突然的跳跃或断裂。

定理

---

令 f(x) 为一个连续函数。如果 $a<b$ 且 $f(a)<m<f(b)$，则 $\exists c\in (a,b):f(c)=m$.

介值定理：给定 [a,b] 上的连续函数和三个变量 a < c < b，则必须满足 ƒ(a) < ƒ(c) < ƒ(b) 的条件。

证明

令 $S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}$，并令 $c=\sup S$。

令 $\epsilon =|f(c)-m|$。根据连续性，$\exists \delta :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon$。

如果 f(c) < m，那么 $|f(c+{\frac {\delta }{2}})-f(c)|<\epsilon$，因此 $f(c+{\frac {\delta }{2}})<f(c)+\epsilon =m$。但是，$c+{\frac {\delta }{2}}\in S$，这意味着 c 不是 S 的上界，矛盾。

如果 f(c) > m，那么由于 $c=\sup S$，$\exists x:x\in S,c>x>c-\delta$。但由于 $|x-c|<\delta$，$|f(x)-f(c)|<\epsilon$，因此 $f(x)>f(c)-\epsilon$ = m，这意味着 $x\notin S$，矛盾。 $\Box$

现在我们证明最小-最大定理，它是另一个与连续性相关的重大结果。实质上，它指出任何闭区间的连续像都是有界的，并且也取得这些界。

最小-最大定理

该定理作为另一个更大定理的第一部分。然而，它本身有助于弥合关于函数的上确界和下确界之间的差距。

定理

---

给定一个在 [a,b] 上的连续函数 ƒ，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$，那么 $f([a,b])$ 是有界的。

证明

假设$f$ 是无界的。

设$x_{1}={\tfrac {a+b}{2}}$。那么，$f$ 在至少一个闭区间$[a,x_{1}]$ 和 $[x_{1},b]$ 上是无界的（否则，$f$ 在$[a,b]$ 上是有界的，与假设矛盾）。将这个区间称为$I_{1}$。

类似地，将$I_{1}$ 分成两个闭区间，并设$I_{2}$ 是$f$ 是无界的那个区间。

因此我们得到一个嵌套闭区间的序列$[a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots$，使得$f$ 在每个区间上都是无界的。

我们知道，嵌套闭区间的交集非空。因此，设$x_{0}\in I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots$

由于 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，所以存在一个 $\delta >0$ 使得 $x\in V_{\delta }(x_{0})\implies f(x)\in (f(x_{0})-1,f(x_{0})+1)$ 但根据定义，总存在一个 $k\in \mathbb {N}$ 使得 $I_{k}\subseteq V_{\delta }(x_{0})$，这与假设 $f$ 在 $I_{k}$ 上无界矛盾。因此，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

极值定理

这是定理的第二部分。它是前一个定理更具肯定性的版本，指出不仅存在上确界和下确界，而且函数 ƒ 也能达到它们，并且它们将在你指定的区间内。

定理

---

给定一个在 [a,b] 上连续的函数 ƒ，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$，如果 $M,m$ 分别是 $f([a,b])$ 的上界和下界，那么存在 $c,d\in [a,b]$ 使得 $f(c)=M,f(d)=m$。

极值定理的图示：给定一个在 [a,b] 上连续的函数，一定存在一个最大值 c 和一个最小值 d，使得 ƒ(c) 是区间内的最大值，而 ƒ(d) 是区间内的最小值。

证明

假设如果可能，$M=\sup(f([a,b]))$，但 $M\notin f([a,b])$。

考虑函数 $g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}$。根据连续性的代数性质，$g:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是连续的。然而，$M$ 是 $f([a,b])$ 的聚点，$g(x)$ 在 $[a,b$ 上无界，与 (i) 矛盾。因此，$M\in f([a,b])$。类似地，我们可以证明 $m\in f([a,b])$。

附录

连续性将在数学的其他分支中再次出现。你不仅会遇到连续性的不同变体，还会遇到连续性的不同定义。

一致连续性

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

我们说 $f$ 在 $A$ 上是一致连续的当且仅当对于每一个 $\varepsilon >0$ 都存在 $\delta >0$，使得如果 $x,y\in A$ 且 $|x-y|<\delta$，那么 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

利普希茨连续性

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

我们说 $f$ 在 $A$ 上是利普希茨连续的当且仅当存在一个正实常数 $K$ 使得，对所有 $x,y\in A$，$|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$.

最小的这样的 $K$ 被称为函数 $f$ 的利普希茨常数。

拓扑连续性

如前所述，连续函数的概念在数学的几个领域都有使用，最显著的是在拓扑学中。在这样的场景中，连续性的另一种表征非常有用。

定理

令 $A\subseteq \mathbb {R}$
令 $f:A\to \mathbb {R}$

$f(x)$ 在 $x=c$ 处连续当且仅当对于 $f(x)$ 的每个开邻域 $V$，都存在 $x$ 的一个开邻域 $U$，使得 $U\subseteq f^{-1}(V)$

需要指出的是，“开集”的概念可以被定义在比实数集或度量空间更一般的环境中，因此这种描述方法具有很高的实用性。