实分析/达布积分

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实分析 达布积分

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另一个广为人知的“积分”定义是由 让·加斯东·达布 提出的，并且经常在更高级的课本中使用，比如这个维基教科书，因为它比较容易入门。在本节中，我们将定义达布积分，并证明达布积分与更广为人知的黎曼积分的等价性。

构造

与 黎曼积分 不同，这种积分形式将放弃对函数 ƒ 的一个假设——它必须是连续的。它只假设函数 ƒ 在 [a,b] 上有界。当然，实分析课程中关于函数只在关注区间上的实数范围内运作的正常假设可以被推测（即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$)

划分

我们将修改达布积分的划分定义，使值 *a* 和 *b* 也包含在集合中。为了完整起见，我们将再次写出这个新定义。

定义 *划分* ${\mathcal {P}}$ 是区间 $[a,b]$ 的

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一个有限的实数集合，使得 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$. 它通常记为 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$，其中离散地写入的 *x* 的数量是任意的。

定义 *划分点*

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*划分* 集合中的元素。

目前，我们将忽略对这些值进行索引的实际过程。但是，应该注意的是，我们对划分的定义没有对这些数字之间的关系做出任何断言；*这些值不一定是均匀分布的 - 但它们可以*。

上和与下和

设 ${\mathcal {P}}$ 是 $[a,b]$ 的一个划分

对于每个 $x_{i}\in {\mathcal {P}}$，你可以定义两个特殊的数字

$m_{i}\,{\dot {=}}\,\inf {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$ 和

$M_{i}\,{\dot {=}}\,\sup {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$

这两个变量的口头定义更加清晰；m_i 定义了两个分割点之间所有有效 ƒ(x) 值的最小值，而 M_i 定义了两个分割点之间所有有效 ƒ(x) 值的最大值。

接下来，我们将定义 Darboux 积分的关键功能部分，即求和。

上和的定义 $f$ 对于 ${\mathcal {P}}$

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一个函数，记为 $U(f,{\mathcal {P}})$，定义为 $\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

下和的定义 $f$ 对于 ${\mathcal {P}}$

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一个函数，记为 $L(f,{\mathcal {P}})$，定义为 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

借鉴几何学，你会注意到这两个求和本质上是对各种矩形形状的加法，这些矩形形状由于长度定义为最大值或最小值而与函数 ƒ 相关联。

需要注意的是，虽然上和和下和借用了函数符号，但它并非严格意义上的函数。它以分割作为输入，分割的大小是一个自然数。函数 ƒ 被视为一个固定的常量。

实际上，要得到 Darboux 积分，只需要再进行一个构造。唯一的问题是？这最后一步是将上和与下和联系起来。毕竟，从这个函数生成的矩形留下了很多空白，因为分割点太少了。分割点越多，M_i 和 m_i 就越接近同一个值。现在，下一个任务应该很清楚了；我们需要证明上和和下和可以收敛到一个点。

细化

构造的倒数第二部分要求我们证明关于我们的分割和求和的以下两个引理

1. $L(f,{\mathcal {P}})\leq L(f,{\mathcal {P}}^{*})$
2. $U(f,{\mathcal {P}})\geq U(f,{\mathcal {P}}^{*})$

请原谅，在我们分析这个语句之前，我们必须先定义带星号的分割 P 的含义。

定义分区 ${\mathcal {P}}$ 的细化${\mathcal {P}}^{*}$。

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一个分区，使得 ${\mathcal {P}}^{*}\supset {\mathcal {P}}$。或者，${\mathcal {P}}^{*}$ 在相同区间 [a,b] 上具有比 ${\mathcal {P}}$ 更多的分割点。

好的，我们为什么要证明这一点呢？很简单，这些不等式表明，更多的分割点会导致对实际面积的更好近似。下界将随着它接近“面积”而增加，而上界将随着它接近“面积”而减少。这应该是一个如此直观的结论，以至于你可能从未想过要证明它。但是，我们现在将证明这个引理。它将是达布积分拼图的最后一块所需的。

这个证明很简单，只需要不等式代数。

证明更细化分区的下和永远不会更小

现在，让我们假设 ${\mathcal {P}}^{*}$ 只比 ${\mathcal {P}}$ 多一个分割点（我们将在稍后使用这个特例来证明一般情况）。鉴于此，我们只需要从这些分区中取三个分割点来证明：${\mathcal {P}}^{*}$ 中独有的那个额外的分割点，以及它在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 和 ${\mathcal {P}}$ 中都存在的两个相邻的分割点。	令 $x_{i},x_{i-1}\in {\mathcal {P}}$，并令 $x^{*}\in {\mathcal {P}}^{*}\setminus {\mathcal {P}}$ 使得 $x_{i-1}<x^{*}<x_{i}$。
现在，我们将为这些分割点生成一个特殊的下确界变量 mi。它们被赋予变量名 m′ 和 m″。	令 $m'_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x^{*}]\}$ 和 $m''_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x^{*},x_{i}]\}$
我们将使用所有这些变量来表示细化分区的下界和与分区下界的某种关系。	${\begin{aligned}L(f,{\mathcal {P}})&=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}{\text{ and }}\\L(f,{\mathcal {P}}^{*})&=\sum _{i=1}^{x^{*}-1}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\\&+m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})\\&+\sum _{i=x^{*}+1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\end{aligned}}$
通过从图中移除求和（通过减法），可以得出比较两个方程之间最终关系的精简结果，如下所示：	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1}){\text{ and }}m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
鉴于我们在同一个分区点之间有两个下确界，而只有一个下确界，因此这种关系应该很明显。这意味着通过一个分区点细化的分区更大。	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
使用递归，可以实现任意大小的细化分区。以下数学表达式描述了递归过程。	${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {P}}^{1}\subset {\mathcal {P}}^{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {P}}^{*}$
$\blacksquare$

类似地，我们可以证明 $U(f,{\mathcal {P}})>U(f,{\mathcal {P}}^{*})$，使用相同的方法，通过反转必要的函数。

收敛

现在我们已经证明了我们的直觉是正确的；更多的划分将从下界和上界产生更接近的近似值，很公平地看看我们是否可以将它们结合起来。如果我能够自由地使用数学符号，它可以被描述为

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\rightarrow {\text{``Area''}}\leftarrow U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

当上界（高估的面积）大于实际的“面积”，而下界（低估的面积）小于实际的“面积”时，但当划分变得更细时，两者都收敛于“面积”。然而，这样想会让我们避免我们收集到的数学片段，这些片段也可以公平地构建我们的积分。证明达布积分的路线图引导我们到最后一块,

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中 ${\mathcal {P}}$ 可以被认为是一个足够完整的划分，可以产生完美的近似值。在这一部分的解释中，我们将它称为完美划分，尽管完美划分重要的是不是无穷大的。但是，你可能会想知道如何解决这个问题；先前的引理没有对下界和上界进行任何比较。这就是为什么我们要证明这一点而不是

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

当 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是 [a,b] 的任意划分。是的，它们不需要是同一个划分，只要它们都在同一个区间 [a,b] 上。这实际上会更简单，因为我们的证明会使用这两个和作为界限——我敢说它像挤压一样吗？

证明和收敛

假设 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是主划分的子集，我们可以使用我们的 引理 不断细化我们的划分，直到它们变成完美划分。	$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq L(f,{\mathcal {P}})$ $U(f,{\mathcal {P}}_{2})\geq U(f,{\mathcal {P}})$
即使在创建完美分割的过程中，也可以注意到上限大于下限。这是由于，根据定义，上确界大于或等于任何其他值。我们可以排除下和永远大于的情况。	$L(f,{\mathcal {P}}^{n})\leq U(f,{\mathcal {P}})$
说到这里，我们也可以想象和的 上确界/下确界也会服从这种保持上和态势的性质。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}\leq \inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
对函数使用上确界和下确界模拟了完美分割的行为。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}=L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})=\inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
我们不能得出结论。	$\blacksquare$

结论

我们陷入了僵局。我们的最后一步得出了关于下和和上和的非常奇怪的答案。即它们不是相等，而是不等式

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中数字的确定性仍然未知。但是，我们可以通过将其分为两种情况并验证其中一种来轻松避开这个问题。我们所说的验证是什么意思？我们可以将积分，即达布积分，定义为确保上和和下和相等的数字。然后我们可以将无效积分定义为保持不等式。用数学符号，我们将积分定义为

$L(f,{\mathcal {P}})=U(f,{\mathcal {P}})$

并拒绝所有其他情况作为无效积分。

从这里，我们自下而上完成了达布积分的构造。.

定义

函数 ƒ 在 $[a,b]$

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上的达布可积的定义是

注意备用符号。 两个定义是等价的，只是为了澄清令人困惑的符号。

1. 当且仅当 $\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，其中上确界取自该区间上的所有分割集
2. 当且仅当 $\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}=\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}$

它通常被记作

1. $\int _{a}^{b}f$
2. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

取决于你是否愿意明确地写出函数 (#2) 还是用函数名表示 (#1)

备注

1. 当然，函数必须是实函数，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$.
2. 与维基教科书中其他概念（如极限）不同，达布积分的定义基于唯一性的条件，而极限是由定义推导出来的。

性质

设 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

$f$ 在 $[a,b]$ 上是达布可积的当且仅当对任何 $\varepsilon >0$，存在 $[a,b]$ 上的划分 ${\mathcal {P}}$，使得 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

证明

($\Rightarrow$)令$A=\int _{a}^{b}f$，并令$\varepsilon >0$ 为给定值。因此，根据间隔引理，存在一个划分${\mathcal {P}}$，使得$U(f,{\mathcal {P}}),L(f,{\mathcal {P}})\in V_{\frac {\varepsilon }{2}}(A)$，因此$U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

($\Leftarrow$)令${\mathcal {P}}_{0}$ 为$[a,b]$ 上的任意一个划分。观察到$L(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合${\mathcal {U}}=\{U(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任何划分$\}$ 的下界，并且$U(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合${\mathcal {L}}=\{L(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任何划分$\}$ 的上界。

因此，令 $\alpha =\sup {\mathcal {L}}$ 且 $\beta =\inf {\mathcal {U}}$。由于 $L(f,{\mathcal {P}})<U(f,{\mathcal {P}})$，所以 $\alpha >\beta$ 不可能成立。同样，由于 $\alpha ,\beta$ 分别是上确界和下确界，$\alpha <\beta$ 也无法成立。因此，$\alpha =\beta =L$（假设）。

由于 $L=\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，所以 $\int _{a}^{b}f=L$

黎曼积分与达布积分的等价性

乍一看，达布积分似乎是黎曼积分的特例。然而，这是一种错觉，实际上两者是等价的。

引理

(1) 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 为达布可积函数，其积分值为 $L$

定义函数 $\varepsilon (\delta )=\sup\{|L-S(f,{\dot {P}})|:\|{\dot {P}}\|=\delta \}$

(2) 然后 $\delta _{1}<\delta _{2}$ $\Rightarrow$ $\varepsilon (\delta _{1})<\varepsilon (\delta _{2})$

证明

令 $\delta _{1}<\delta _{2}$。考虑集合 $T$ 中的标记分区 ${\dot {P}}$，使得 $\varepsilon (\delta _{1})\leq |L-S(f,{\dot {P}})|$

令 $T'$ 是 ${\dot {P'}}$ 的集合，其中 ${\dot {P'}}\subset {\dot {P}}\in T$ 并且 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}>\delta _{1}$

注意 $T'\neq T$，并且集合 $T'$ 确实包含所有具有 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}$ 的分区 ${\dot {P'}}$

现在，对于 ${\dot {P}}\in T$，我们可以构造 ${\dot {P'}}\in T'$ 使得 $|L-S(f,{\dot {P'}})|>|L-S(f,{\dot {P}})|$

因此，$\displaystyle \sup _{{\dot {P}}\in T}\{|L-S(f,{\dot {P}})|\}<\sup _{{\dot {P'}}\in T'}\{|L-S(f,{\dot {P'}})|\}$

即 $\varepsilon (\delta _{2})>\varepsilon (\delta _{1})$

定理

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

(1)$f$ 在 $[a,b]$ 上是黎曼可积的当且仅当

(2)$f$ 在 $[a,b]$ 上是达布可积的

证明

($\Rightarrow$) 令 $\epsilon >0$ 给定。

(1)$\Rightarrow$ $\exists$ 带标签的划分 ${\dot {P}}$ 使得 $|S(f,{\dot {P}})-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

设划分 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 是 ${\dot {P}}$ 的相同细化，但标签不同。

因此，$|S(f,P_{1})-S(f,P_{2})|<\epsilon$ $\forall$ $P_{1}$ 和 $P_{2}$

即，根据三角不等式，$|S(f,P_{1})|-|S(f,P_{2})|<\epsilon$

间隙引理 $\Rightarrow$ $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$,

$\epsilon >0$ 是任意的，根据定理 2.1，我们有 $f$ 是 Darboux 可积的。

($\Leftarrow$) 给定任意一个 $\epsilon >0$。

(2) ，定理 2.1 $\Rightarrow$ $\exists$ 分割 $P$ 使得 $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$

因此，$|L-S(f,P)|<\epsilon$，因为 $L(f,P)\leq S(f,P)\leq U(f,P)$

根据引理 3.1，$|L-S(f,P')|<\epsilon$，如果 $\|P'\|<\|P\|$

因此，如果我们令 $\delta =\|P\|$，我们就得到 (1)

我们注意到这个证明中关键的元素是引理 3.1，因为它本质上给出了 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 之间的顺序关系，而这在黎曼积分和达布积分的定义中并没有直接体现出来。