SA NC 开展调查/第 6 章
| 开展调查：GET 和 FET 数学和科学教育工作者的资源手册 |
迄今为止描述的调查都是项目，属于学习者提出想法，然后尽力找出更多相关信息的类型。这类调查的目的是让学习者参与科学过程（参见第 9 章了解科学素养各个方面的完整列表）。但是，调查精神可以在更简单的活动中找到，并且在过去伟大的科学教育家朱利叶斯·萨姆纳·米勒的一句话中继续存在：“多做少说”！在介绍新概念或只是向学习者展示一个非凡的现象以激发他们的想象力时，调查仍然是科学和数学教育工作者手中的强大工具。以下是一些流行的调查活动。请按照说明操作并找出正在展示的科学概念。从这些活动中得出的调查活动将是找出每个现象在何处发挥作用。
一个有用的缩略语总结了使用这些快速调查的方法，即“OPE”或观察、预测和解释。在课堂上进行这些活动时，要让学习者有时间仔细观察（可能在过程中重新演示），讨论他们的预测以及他们预测背后的理论，然后解释发生的事情，特别是如果他们的预测不正确。
你需要一杯水、冰块、一根绳子和一些盐。步骤 1. 将一块冰块放入一杯水中。它漂浮着，大约十分之一的冰块从水面突出。
步骤 2. 将绳子的一端放在露出的冰块上，并在其上撒一些盐。让它停留一两分钟。
步骤 3. 轻柔地提起绳子。
你期望什么？ 你期望冰块留在水中，绳子会拉开。实际发生什么？ 绳子紧紧地粘在冰块上，足以将其从水中提起。它是如何工作的？ 盐将水的冰点降低到低于 0° C。当冰块在绳子末端所在的位置融化时，融化的冰会稀释盐，冰块会再次冻结。绳子的热量首先会在冰块中形成一个小孔，当绳子在冰块内部时，水盐混合物就会再次在周围冻结。
你需要一张双层报纸和一把尺子。步骤 1. 将尺子放在桌子上，使几厘米伸出桌边。
步骤 2. 用一张报纸盖住桌上的尺子。
步骤 3. 用手用力敲击伸出桌边的尺子部分。
你期望什么？ 你期望纸张在你敲击尺子时跳起来。实际发生什么？ 纸张留在桌子上。它甚至没有撕裂。它是如何工作的？ 手掌向上时的空气重量约为 45 公斤。双层报纸上的空气重量是多少？当然超过尺子能承受的重量！
你需要一个沉重的玻璃杯、一个气球和一个空的冷饮瓶。
步骤 1. 将气球放在瓶口。
步骤 2. 将气球的开口缠绕在瓶子的开口处。
步骤 3. 吹入瓶子里的气球。
你期望什么？ 气球应该膨胀并充满瓶子。实际发生什么？ 气球略微膨胀，但之后就无法再膨胀了。它是如何工作的？ 当气球膨胀时，瓶子里的空气被压缩到剩余的空间。这意味着吹气者肺部的反压力也会增加。即使是轻微地膨胀气球，都很难！
你需要一个沉重的玻璃杯、一条报纸、两枚大硬币和一把尺子。
步骤 1. 将一条报纸的一端放在杯沿上。
步骤 2. 将两枚硬币平衡在杯沿上。
步骤 3. 确保硬币只是接触到纸张，但实际上是平衡在杯沿上，而不是纸张上。
步骤 4. 提起纸张的自由端，将其保持水平。
步骤 5. 用尺子敲击距离玻璃边缘约 5 厘米的纸张。
你期望什么？ 你期望硬币掉入玻璃杯中。实际发生什么？ 纸张从硬币下方抽出来，它们仍然留在玻璃杯的边缘上。'它是如何工作的？ 所有物体都抵抗被置于运动状态（即被使动）。物体质量越大，使其运动就越困难。所以轻的纸张移动了，但重的硬币没有。（找出物质的这种性质叫什么。）
你需要一个酒精灯、火柴、一根木头和金属棒（用一根圆柱形木棒和一块铝箔包裹其中一半几次制成）以及一张书写纸。
步骤 1. 将一张纸绕在木金属棒上，形成单层包裹。
步骤 2. 点燃酒精灯。
步骤 3. 将火焰轻轻地对准纸张，在金属和木材的交界处。
你预计会发生什么？ 你预计纸张会燃烧。实际上发生了什么？ 纸张覆盖木头的那一半会炭化，但覆盖铝箔的那一半不会。这是如何运作的？ 金属导热，将热量从纸张上带走，而木材则不会。因此，纸张在木材上的温度很快升高到纸张焦化的程度。但在金属上不会发生这种情况。
你需要一个软木塞、一枚别针、两把叉子和一个厚玻璃杯。
步骤 1. 将别针插在软木塞的一端。
步骤 2. 将叉子插在软木塞的侧面，使它们向下垂落 - 手柄低于带有别针的软木塞底部。
步骤 3. 将别针平衡在一个倒置的玻璃杯底部。
你预计会发生什么？ 你预计整个装置会翻倒，因为它看起来很不稳定。实际上发生了什么？ 该装置在别针上保持平衡，虽然它一开始可能会摇晃，但很快就会稳定下来。这是如何运作的？ 每个物体都有一个称为重心 (CoG) 的点与之相关。它是物体整个质量似乎集中在一点上的位置。如果重心低于平衡点，则物体将非常稳定。
你需要两根扫帚和一段绳子。
步骤 1. 让超级男孩/超级女孩垂直地握住两根扫帚，每只手一根，然后向内拉，而另两个人试图将扫帚（和握持者的手臂）向外拉。
步骤 2. 现在，当两个“拉扯者”各自垂直地握住一根扫帚时，将绳子的一端系在其中一根扫帚上（大约向上三分之一处），然后将绳子绕着两根扫帚缠绕 5 圈，向上缠绕。
步骤 3. 让两个拉扯者再次尝试将扫帚向外拉，而超级男孩/超级女孩则拉住绳子的自由端。
你预计会发生什么？ 你预计两个人会轻松地将扫帚拉开。实际上发生了什么？ 绳子很容易地将两个人拉向内。这是如何运作的？ 这种作用类似于一组滑轮（或滑轮组）。绳子每次缠绕几乎会使绳子末端的人的拉力加倍。
你需要一张 A4 纸和一把剪刀。
步骤 1. 给每个学习者一把剪刀和一张 A4 纸。
步骤 2. 向他们提出问题：“你能剪开这张纸，使它适合你的身体吗？”
步骤 3. 将纸张对折，短边对短边。
步骤 4. 从折叠的末端剪出一个狭窄的矩形，如所示 (X)。
步骤 5. 按照此图案进行奇数次剪裁
你预计会发生什么？ 做不到！实际上发生了什么？ 它有效！这是如何运作的？ 仔细观察排列方式，看看它是如何运作的。
步骤 6. 你可以使用另一张纸进行实验。尝试违反说明，例如进行偶数次剪裁或不剪到纸边的边缘！
这一系列活动由蒙大拿西部大学的奥蒂斯·汤普森教授以其作为 Tlhatloga 项目首席研究员和数学专家的身份编制。这些活动在 2003 年举办的一系列研讨会上展示。汤普森教授在数学教育方面拥有杰出的职业生涯，并将其与南非教育工作者合作的三年视为其职业生涯的亮点。
数学被定义为对模式的研究。模式无处不在 - 在墙纸、地板和墙壁瓷砖上，在艺术作品中，在植物和动物的生长和行为中，在交通中，甚至在电视节目表中。科学家寻找模式，以便隔离变量，以便他们在研究中得出有效结论。学习者可以通过探索数字和几何模式，并用文字或符号以数学方式表达这些模式来获得模式方面的经验。为了分析模式，我们首先确定模式的结构以及模式如何变化。然后，我们以系统的方式组织信息，最后对模式中的数学关系进行概括。在这些活动中，学习者可以探索数字模式，并学习一些分析模式的方法。然后，他们可以使用他们的分析以数学方式表达模式。学习者还可以研究纯数字模式如何应用于现实世界。
活动 1 在此活动中，学习者将探索一些熟悉的数字模式，并命名所描述的数字集。
活动 2 在此活动中，学习者将探索算术序列、几何序列和图形数序列。算术序列是指每个连续项通过添加或减去一个称为公差的固定数字从前一项获得的序列。几何序列是指每个连续项通过乘以一个称为公比的固定数字从前一项获得的序列。图形数是可以由排列成特定几何图形的点表示的数字。
活动 3 使用列奥纳多·斐波那契在 1202 年提出的原始问题介绍斐波那契数列。然后，学习者将探索导致斐波那契数列的其他一些问题。学习者将发现该序列中的一些有趣关系，并以数学方式表达这些关系。学习者将探索植物生长模式如何与斐波那契数对齐。
活动 4 1+ \frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + L} } 学习者将探索连分数，并看到在给定点停止始终会导致斐波那契数的比率。当转换为小数时，这些比率接近 1.61803...，即黄金分割。然后，学习者将进行实验，以找到“最令人愉悦的矩形形状”，并了解长宽比大约是黄金分割。然后，学习者将找出他们周围环境中“黄金矩形”。
所需材料
- 纸和笔
- 计算器（可选）
- 整个菠萝（可选）
- 圆规
- 直尺
- 剪刀或刀具
Thembisa 必须为学期结束时的拼写测试学习一个长长的单词列表。第一天她学习了两个单词，之后每天她学习拼写两个单词。如果她在第 15 天学习完整个列表，那么她的列表中有多少个单词？
要解决这个问题，请完成以下表格
|
天 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
累计单词数 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
因此我们看到 Thembisa 的列表包含 _____________ 个单词。
您创建的数字列表（称为序列）是属于一组非常特殊的自然数的一部分。该集合写成 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}，其中 ...（称为省略号）表示该模式永远持续下去。这组自然数的名称是什么？
还有其他您可能知道名称的自然数序列。让我们来探索并看看您知道哪些序列。在下面的每个序列中，填写接下来的三个项，并给该序列命名。
1. 1, 3, 5, 7, 9, ______ , ______ , ______ , ...
名称：________________________________
2. 0, 1, 4, 9, 16, 25, ______ , ______ , ______ , ...
名称：________________________________
3. 0, 3, 6, 9, 12, 15, ______ , ______ , ______ , ...
名称：_______________________________
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, _____ , ______ , ______ , ...
名称：______________________________
一个大型剧院的设置方式是第一排有 20 个座位，每排后增加 4 个座位。最后一排有 144 个座位。剧院共有多少排？
如果我们试图像在活动一中那样创建一个列表来解决这个问题，我们可能需要花一段时间才能完成列表。让我们来探索像这样序列的一些特性，以尝试简化我们的求解方法。
我们需要创建来解决此问题的序列称为等差序列。等差序列是指每个连续项都是通过加或减一个固定数字（称为公差）从前一项得到的序列。写出对应于前五排的前五项：该序列中的第 10 项是多少？该序列中的第 20 项是多少？写出求此序列第 n 项的规则？
现在使用此规则来查找剧院的排数。要确定一个序列是否是等差序列，只需查看连续项之间的差是否为常数即可。以下哪些序列是等差序列？如果该序列是等差序列，请写出该序列的第 100 项。
1. 5, 8, 11, 14, 17, ...
等差？是/否
第 100 项 = ________________
2. 4, 6, 9, 13, 18, ....
等差？是/否
第 100 项 = ________________
3. 1040, 1032, 1024, 1016, 1008, ....
等差？是/否
第 100 项 = _____________
4. 偶数集
等差？是/否
第 100 项 = _____________
现在问题出现了，关于活动 2 中的导言问题：剧院有多少个座位？
为了回答这个问题，首先让我们考虑一个更简单的问题。这些数字的和是多少：1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100？（注意，这是一个公差为 1 的等差序列。）
写出该和：1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
在它下面写下“倒序”的序列：100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
现在，如果我们将上面和下面每一对加起来，则该和为 101，并且由于有 100 对，因此两行的总和为 100 x 101。但是，由于这包含了序列中的每个数字两次，因此我们将该乘积除以 2，得到 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050。
（注意：要找到等差序列中有限个项的和，您需要知道第一项、最后一项和项数。写出使用这些信息来查找此类和的规则，然后使用此规则来查找剧院中的座位数。）
找到以下和：1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1000 = _______________
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 72 = _______________
8 + 11 + 14 + 17 + ... + 305 = _______________
并非所有序列都是等差序列。还存在其他类型的序列。等比序列是指每个连续项都是通过乘以一个固定数字（称为公比）从其前一项得到的序列。在这些等比序列中找出接下来的三个项
1. 2, 4, 8, 16, ______ , ______ , ______ , ...
2. 729 486 162, _____ , _____ , _____ , ...
3. 1, 0.4, 0.16, 0.064, _____ , _____ , _____, ...
图形数（可以用点表示成特定几何图形形状的数字）提供了既不是等差序列也不是等比序列的序列示例。以下是三角形数序列的前四项。
解释为什么下一个三角形数是 15。
序列 1, 3, 6, 10, 15, ... 不是等差序列（因为没有公差），也不是等比序列（因为没有公比）。但是，如果我们查看连续项之间的差，然后查看连续差之间的差，我们会发现一个模式，它应该可以帮助我们找到该序列的接下来的三个项。
以下是前三个五边形数。使用您在三角形数中使用的方法来查找接下来的三个五边形数。
当要求您为给定序列找到模式时，首先寻找一些易于识别的模式，并确定该序列是等差序列还是等比序列。如果模式不清楚，则进行连续求差（如对图形数所做的那样）可能会有所帮助。有可能这些方法都没有揭示出模式。
1202 年，莱昂纳多·斐波那契在他的著作《算盘书》（《算盘书》）中提出了以下问题：某人将一对小兔子放在一个四面环绕着墙壁的地方。如果假设每对兔子每个月产下一对新兔子，并且从第二个月起，新兔子开始繁殖，那么一年内从这一对兔子可以繁殖出多少对兔子？
为了解决这个问题，让我们制作一个表格，并跟踪我们每个月有多少对兔子。请记住，我们将从一对小兔子开始。在第二个月初，它们现在是一对成年兔子，因此它们繁殖。兔子的妊娠期是一个月，所以在第三个月初，我们现在有一对成年兔子和一对小兔子。
|
月份 |
成年兔子 |
小兔子 |
兔子总数 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
现在完成表格，得出我们一年结束时有多少对兔子。仔细分析您为兔子总数获得的数字序列。描述如何确定该序列中的下一项。
（注意：此序列既不是等差序列也不是等比序列。连续求差的方法不像对图形数那样有效，但它可能提供一些线索，说明如何构建此序列中的连续项。）
现在让我们更详细地探索这个序列，并对它做出一些推测。1. 完成以下斐波那契数列的前 25 项的表格：这里没有任何地方解释什么是斐波那契数，以及如何得到它们？
|
符号 |
项 |
|
F1 |
|
|
F2 |
|
|
F3 |
|
|
F4 |
|
|
F5 |
|
|
F6 |
|
|
F7 |
|
|
F8 |
|
|
F9 |
|
|
F10 |
|
|
F11 |
|
|
F12 |
|
|
F13 |
|
|
F14 |
|
|
F15 |
|
|
F16 |
|
|
F17 |
|
|
F18 |
|
|
F19 |
|
|
F20 |
|
|
F21 |
|
|
F22 |
|
|
F23 |
|
|
F24 |
|
|
F25 |
|
2. 如果您的表格填写正确，则第 25 个斐波那契项 F25 应该为 75025。
3. 找到以下和
a. F1 + F2
b. F1 + F2 + F3
c. F1 + F2 + F3 + F4
d. F1 + F2 + F3 + F4 + F5
e. F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6
f. F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + F7
g. 写出可以让您根据斐波那契数给出前 n 项之和的答案的规则。
h. 使用您的规则来查找此序列的前二十项的和。
4. 找到以下和（注意：我们只使用奇数项）
a. F1 + F3
b. F1 + F3 + F5
c. F1 + F3 + F5 + F7
d. F1 + F3 + F5 + F7 + F9
e. F1 + F3 + F5 + F7 + F9 + F11
f. 写出可以让您根据斐波那契数给出前 n 个奇数项之和的答案的规则。
g. 使用您的规则来查找前十个奇数项的和。
5. 找到以下和（注意：这里我们只使用偶数项）
a. F2 + F4
b. F2 + F4 + F6
c. F2 + F4 + F6 + F8
d. F2 + F4 + F6 + F8 + F10
e. F2 + F4 + F6 + F8 + F10 + F12
f. 写出可以让您根据斐波那契数给出前 n 个偶数项之和的答案的规则。
g. 使用您的规则来查找前十个偶数项的和。
6. 找到两个连续斐波那契数的平方和 - 这用符号表示为：(F_n)^2 + (F_{n+1})^2。结果应该是另一个斐波那契数。是哪一个？
7. a. 从您的列表中选择任何三个连续的斐波那契数。将第一个数乘以第三个数，然后减去中间数的平方。- 这用符号表示为：F_{n-1} X F_{n+1} - {F_n}^2 写出可以解释答案是什么的规则。）
b. 不进行实际计算，F24 x F26 ­ F25^2 的值是多少？
8. a. 现在计算 F_{n-2} x F_{n+2} - {F_n}^2，其中 n 的值不同。
b. 写出可以解释每次答案应该是什么的规则。
9. （对于“专家”。）写出可以给出 F_{n-k} x F_{n+k} - {F_n}^2 答案的规则。
10. 所有斐波那契数都可以被 F_1 和 F_2 整除（因为 F_1 = F_2 = 1，并且每个整数都可以被 1 整除。）
a. 哪些斐波那契数可以被 F_3 整除？
b. 哪些斐波那契数可以被 F_4 整除？
c. 哪些斐波那契数可以被 F_5 整除？
d. 描述可以被其他斐波那契数整除的斐波那契数之间的关系。
11. 选择任何 10 个连续的斐波那契数，并将它们加起来。将此和除以 11。结果是什么？每次都这样吗？
12. 查找前 n 个斐波那契数的平方和。虽然这些和似乎与斐波那契数没有直接关系，但它们是否有可能具有斐波那契数作为因子？如果是，请写出这些因子。现在写出查找此平方和的规则。
13. 每个自然数要么是斐波那契数，要么可以唯一地表示为斐波那契数之和，其中没有两个数是斐波那契数。以下是其中一种方法
a. 写下一个自然数。
b. 找到不超过你的数字的最大斐波那契数。这个斐波那契数是你求和的第一个项。
c. 现在从你的数字中减去这个斐波那契数，看看这个新的数字。
d. 接下来找到不超过这个新数字的最大斐波那契数。这个斐波那契数是你求和的第二个数字。
e. 继续这个过程，直到余数成为一个斐波那契数（你求和的最后一项）。
14. 斐波那契取石子游戏由两个人玩：玩家 1 和玩家 2。所需要的只是一堆棍子。玩家 1 先走，从堆中拿走任意数量的棍子（至少一根，但不能全部）。玩家 1 走完后，就轮到玩家 2 走，然后他们继续轮流走。每个人（除了第一次走）都可以拿走任意数量的棍子，但必须至少拿一根棍子，并且不能超过前一个人拿的棍子数量的两倍。拿走最后一根棍子的玩家获胜。玩家 1 可以使用以下策略始终获胜。确保初始棍子数量不是斐波那契数。将堆中的棍子数量写成非连续斐波那契数之和（见问题 13）。找出和中最小的斐波那契数，作为玩家 1，从堆中拿走这么多根棍子。现在轮到你的对手（玩家 2）走。无论玩家 2 做什么，你都重复前面的步骤。也就是说，一旦玩家 2 完成，玩家 1 将剩余棍子数量表示为非连续斐波那契数之和，然后拿走数量等于和中最小的斐波那契数的棍子。实际上，无论玩家 2 做什么，玩家 1 始终能够在不违反规则的情况下拿走那么多根棍子，最终玩家 1 将能够拿走最后一根棍子并获胜。现在让我们探索一些其他问题。
1. 一个孩子试图爬楼梯。他一次最多能爬两级，也就是说，他可以一次爬一级或两级。如果总共有 n 级台阶，他可以用多少种不同的方法爬上楼梯？
如果只有一级台阶 (n = 1)，显然只有一种方法可以爬上去。如果有两级台阶，孩子可以一次爬完两级，也可以一级一级地爬，因此有两种方法。如果 有 3、4、5...级台阶会怎样？
2. 假设我们有两块由略微不同的玻璃制成的玻璃板，它们正面相对。如果我们用光照射这些玻璃板，光线原则上可以在四個反射面上发生内部反射，然后射出。更具体地说，它们可以不反射地直接穿过，或者它们可以发生一次内部反射、两次内部反射、三次内部反射，依此类推，然后射出（见下面的图）。计算当有 n 次内部反射时射出的光束数量。
3. 在蜜蜂群体中，雄蜂 (雄性) 从未受精的卵中诞生，因此只有一个亲本 (蜂王)。蜂王从受精卵中诞生，因此有两个亲本 (蜂王和雄蜂)。如果我们追溯一只雄蜂的“家谱”10 代，这只雄蜂会有多少位曾曾曾曾曾曾曾曾曾祖父母？
4. 以下是一种创建称为黄金序列的序列的算法。从数字 1 开始，然后将 1 替换为 10。从那时起，将每个 1 替换为 10，将每个 0 替换为 1。在你进行了 12 次迭代过程之后，在 0 和 1 的序列中，有多少个 1？
以上所有问题都导致了斐波那契数列。斐波那契数列无处不在。它甚至出现在植物中。一些花的花瓣数量和花瓣排列包含斐波那契数。大多数雏菊有 13、21 或 34 片花瓣（都是斐波那契数）。植物枝条上的叶子或树枝上的茎往往以最佳位置生长，以最大限度地接触阳光、雨水和空气。从一片叶子到下一片叶子（或从树枝上的一根茎到下一根茎）的过渡以螺旋形的位移为特征。例如，在梨树上，需要旋转三圈才能穿过八根茎，这是一对斐波那契数列的交替成员。菠萝表面的六角形鳞片是三个不同螺旋的一部分。大多数菠萝在表面上有五、八、十三或二十一根越来越陡峭的螺旋。所有这些都是斐波那契数。当你观察向日葵的头部时，你会注意到顺时针和逆时针的螺旋图案。在下面的图片中，有 21 个顺时针螺旋和 34 个逆时针螺旋，再次是斐波那契数。
文件：DoingInvestigations chp6 sunflower.jpg
松果的外层由两组互锁的螺旋组成，通常一个方向有 5 个螺旋，另一个方向有 8 个螺旋。你可以在这个地方的植物中找到哪些斐波那契数的例子？
现在让我们看看一种截然不同的无限表达式，这次涉及分数：1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac {1}{...}}}}}
这是一个称为连分数的数学实体的特例。我们如何计算这个分数的值？一种方法是在不同的点“截断”连分数，简化分数，并在我们的结果中寻找模式。
1. 表示为假分数。1 + \frac{1}{1}
2. 表示为假分数。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}
3. 表示为假分数。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}
4. 到这时，你可能已经发现了“捷径”来做这件事。所以让我们再做一次。表示为假分数。1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1}}}}
5. 你之前见过出现在这些假分数的分子和分母中的数字吗？它们是什么？（Fn+1）/Fn
6. 使用计算器获得对于越来越大的 n 值的分数的十进制近似值，其中 Fn 是第 n 个斐波那契数。这个数字称为黄金分割，通常用希腊字母 phi（φ）表示。可以通过数学方法证明，这个数字精确地等于。
现在让我们尝试一个小实验。你会得到一张纸，纸上画着几个矩形。你应该选择一个你认为在这一组中最“令人愉悦、吸引人、优雅”的矩形。该组的结果将被制表。现在让我们构建一个对许多人来说具有特殊吸引力的矩形。
1. 绘制正方形 ABCD。
2. 找到线段 DC 的中点。
3. 将圆规的尖端放在 M 点，以半径 MB 画弧 BE。
4. 点 E 是扩展的 DC 与弧的交点。
5. 找到点 F，使 AFED 成为一个矩形。文件：DoingInvestigations chp6 7.png
可以通过数学方法证明，在矩形 AFED 中，边长比率 frac{AF}/{DE} 和 {BC}/{BF} 都等于 φ，即黄金分割。因此，矩形 AFED 被称为黄金矩形。人们写了许多关于不同的艺术家和建筑师如何在设计他们的作品时使用黄金矩形。在纸张的中央附近，构造一个黄金矩形。小心地将矩形从纸张上剪下，保持纸张的外部完整。现在使用这个“模板”来找到你周围的物体，这些物体接近于“黄金矩形”。
此活动基于从“只爱数字的人：保罗·厄多斯的故事和寻找数学真理的旅程”一书中获得的思想，作者为保罗·霍夫曼 (1998 年) 和“调度问题的组合数学”，《科学美国人》，1978 年 3 月。该活动由彼得·格洛弗博士撰写，并于 2001 年 6 月首次在美国蒙大拿州迪伦的 Tlhatloga 项目暑期研讨会上使用。
将 5 个砝码（2、2、2、3 和 3）分成两堆，使每堆的总重量尽可能接近。
'解决方案 1-1' 通过观察（即只看重量）我们可以将它们排列成 (3, 3) 和 (2, 2, 2)。在处理少量砝码时，可以通过“试错法”解决问题，即尝试所有可能的排列，直到找到最佳答案。这是一个属于数学分支“组合数学”的问题——它是关于如何做出最佳决策，决定将什么放在哪里，以及如何以最佳方式组合数量以获得所需结果的数学。这是一个相对较新的数学分支，它在各个领域都得到了应用，从国防到切割管道长度到货车的包装。
解决方案 1-2 罗纳德·格雷厄姆是当今最优秀的组合数学家之一。以下是他用来最有效地包装重量的算法*：“从最重的砝码开始，一直到最轻的砝码，将每个砝码放入在每一步都倾向于使两堆重量尽可能相等的堆中。”
[* 算法这个词来自九世纪的波斯数论家穆罕默德·本·穆萨·阿尔-花拉子米，他也是代数的命名者。“算法是……一个一步一步的程序，其中每一步都明确说明，以便人或机器可以机械地解决问题。”（霍夫曼。1998）。]
但是使用格雷厄姆的算法来解决问题 1，我们得到以下解决方案
文件：DoingInvestigations chp6 8.png
我们可以看到，这不是最佳解决方案，而我们的试错法解决方案就是最佳解决方案，即每堆总重量为 6 个重量单位（即 3、3 和 2、2、2）。但它也不是最差的组合，如果堆的大小范围从 2 到 10（即 3、3、2 和 2、2 或 3、3、2、2 和 2），就会出现这种情况。
我们的计算机程序只是将许多算法串联在一起，并用计算机可以解码、"理解"和执行的语言编写。 最佳解决方案与算法解决方案 最佳解决方案（我们的解决方案，也是通过反复试验找到的）是 3、3 和 2、2、2（即 6 和 6）。 但罗恩·格雷厄姆的算法给了我们 3、2、2 和 3、2（即 7 和 5）。
因此，格雷厄姆的算法给出了一个在每种情况下偏差 1/6 的解决方案（即 6 对 7 和 6 对 5）或最佳答案的 ±16%。
格雷厄姆能够证明，对于两堆以及任何数量的重量的任何分布，他的算法的偏差永远不会超过 16%。 1973 年，普林斯顿大学的杰弗里·乌尔曼证明了所谓的“首次适应打包算法”（即，将物品按到达的顺序装入您选择的任何容器，只要它们适合）可能偏差高达 70%！
您有以下所示的 33 个重量和容量为 524 重量单位的箱子。 使用格雷厄姆的“首次适应，从重到轻”算法，将提供的块分成尽可能少的箱子。
1. 展示您所做的任何计算。
2. 展示您如何将重量包装到箱子中
您仍然有 33 个重量，但现在每个重量都是问题 2 中使用的重量的一半。 在将 0.5 变成一半后，四舍五入，如示例所示。 您的新箱子容量为 262。 在使用“首次适应，从重到轻”算法之前，请查看您是否可以进行任何计算来预测包装重量所需的箱子数量。 在做出预测后，将您的块包装到尽可能少的箱子中。
您的预测：_____ 箱子。
展示您将如何包装您的重量。
使用问题 3 中使用的 33 个重量，但将所有“四舍五入”到 0.5 的地方改为“舍入”任何一半。 箱子的容量仍然是 262。 在您预测了所需的箱子数量后，使用格雷厄姆的算法将您的块包装到尽可能少的箱子中。
您的预测：_____ 箱子。
展示您将如何包装您的重量。
使用您在问题 2 中使用的 33 个重量，但丢弃 46 个重量。 预测您现在需要的箱子数量。（a）使用格雷厄姆的算法将块包装到尽可能少的箱子中，以及（b）使用反复试验的方法，尝试改进“首次适应，从重到轻”策略给出的解决方案。
您的预测：_____ 箱子。
展示您将如何包装您的重量。
玻璃纤维绝缘材料以 1 米预切段出售。 水管工必须在经常被接头打断的地下室管道上安装绝缘材料。 必须安装绝缘材料的管道段上接头之间的距离（以厘米为单位）为 30、40、45、30、20、25、40、50、30、35、50、55、60、70、95、10、70、30、80、85、40、45、30、20、15、90、60 和 50。 水管工需要使用多少预切段才能提供绝缘材料。 一段管道必须用一块完整的绝缘材料覆盖。 不允许将两个较短的部件连接起来以制造更长的部件。
此问题和前面介绍的问题被称为装箱问题。 装箱是指找到将重量为 w1、w2、w3、...、wn（每个都小于或等于 W）的最小数量的箱子，这些箱子的重量容量为 W。 格雷厄姆的算法，“首次适应，从重到轻”也称为首次适应递减（FFD）算法。 如果您在将重量分配到箱子之前知道所有重量，以便可以按从大到小的顺序排列，则此算法运行良好。 在某些装箱问题中，我们没有这种奢侈。 在这些情况下，必须使用其他算法。 以下是用于装箱的更常用算法的定义。
首次适应 (FF)
要包装的下一个重量将被放置在已经打开的最低编号箱子中，它适合于此。 如果它不适合任何打开的箱子，则打开一个新的箱子。
首次适应递减 (FFD)
首次适应算法应用于已排序的重量列表，使其按递减顺序出现。
下一个适应 (NF)
如果要包装的下一个重量不适合当前正在填充的箱子，则打开一个新的箱子。 任何先前打开的箱子都不能使用。
下一个适应递减 (NFD)
下一个适应算法应用于已排序的重量列表，使其按递减顺序出现。
最差适应 (WF)
要包装的下一个重量将被放置在剩余空间最大的打开箱子中。 如果该重量不适合任何打开的箱子，则打开一个新的箱子。
最差适应递减 (WFD)
最差适应算法应用于已排序的重量列表，使其按递减顺序出现。
最佳适应 (BF)
要包装的下一个重量将被放置在打开的箱子中，该箱子在将该重量放置到该箱子后将留下最少的剩余空间。 如果该重量不适合任何打开的箱子，则打开一个新的箱子。
最佳适应递减 (BFD)
最佳适应算法应用于已排序的重量列表，使其按递减顺序出现。
尝试使用不同的装箱算法解决此页面顶部的管道切割问题。 研究您从各种算法中获得的不同答案，看看您是否能理解答案不同的原因。 哪个算法似乎最有用？ 为什么？ 管道长度表将很有用。
将其视为教授这堂课的教育者指南。 使用提供的页面，但在适当的时间之前不要向学习者分发描述。 只有在保留了惊喜元素的情况下，活动才有效。
- 四个农民的房屋正好位于他们共有的一个大型方形田地的四个角上。
- 他们决定在田地的正中央安装一台风车，为农舍抽水。
- 当然，他们希望使用尽可能短的管道长度来降低成本。
- 农民们讨论了此事，得出了一个显而易见的结论
从泵直接通往每个农舍的四根管道将提供最短的总管道长度（因此成本最低）。
进行测量。 测量到圆形和正方形的中心，并将管道总长度记为 **布置 A 为 ............. 厘米。**
现在...
- ... 使用电线和钳子用电线制作一个立方体（立方框架）。 角部的电线可以使用钳子扭在一起。 制作一个手柄，以便可以将框架浸入肥皂水中。
- 立方体是一种“块状”形状，有 6 个方形面。 在您制作的立方体的情况下，它实际上是一个未填充的框架（就像游乐场里一个小型攀爬架）。
- 当您和/或学习者制作了一个立方框架后，将其浸入肥皂水中。（一个好的肥皂水配方：1 份洗碗剂，2 份水，？ 份甘油。 甘油使肥皂泡更坚固。 尝试这些比例并进行调整，以确保可以吹出好气泡。 如果您没有甘油，请添加更多洗碗剂。）
- 每个面上都有薄薄的肥皂膜。 您还会注意到，在立方体内部也会形成一些肥皂膜。 轻微摇晃立方体，直到肥皂膜沉淀下来。 重复此操作几次，直到肥皂膜每次都沉淀到相同的形状为止。
- 现在仔细观察肥皂膜在立方体内部是如何排列的。
- 如果您用毛线缠绕所有电线框架的边缘，您会发现肥皂膜会持续更长时间。 确保毛线被肥皂水充分浸泡。
- 立方体中肥皂膜的形状暗示了如何在农场上排列水管？ 让学习者绘制与 **布置 A** 不同的管道排列方式，这可能会解决农民的问题。
- 测量管道总长度 **布置 B 为 ............. 厘米。**
肥皂泡能帮助农民节省管道吗？
**布置 A** 测量四根管道，每根管道都直接从风车（图片中的正方形）通往每个农舍（图片中的圆形）。
**布置 B** 测量四根管道，每根管道都从每个农舍通往中心，以及横跨田地中心风车位置放置的管道段。
