信号处理/傅里叶分析
The 傅里叶级数 允许以其频率成分而不是其时间波形来表示周期信号。周期信号可以表示为频率为信号基频（信号周期的倒数）的整数倍的正弦波之和。
The 傅里叶变换 将此方法扩展到非周期信号。该信号被认为是无限小的正弦波之和。正弦波不再是基频的整数倍，而是在整个频率轴上都存在。
傅里叶级数和傅里叶变换都有逆变换。变换可以在时域到频域以及从频域回到时域进行，而不会丢失任何信息。换句话说，频率和时间表示是等效的：它们都是信号的精确表示，并传达其完整信息。
虽然傅里叶级数和傅里叶变换非常适合分析信号的频率成分，但拉普拉斯变换 是分析和开发滤波器等电路的首选工具。
事实上，拉普拉斯变换用于求解微分方程和积分方程。通过这种变换，微分和积分分别变成乘以 和除以.
对输入信号执行一组微分方程以修改它的滤波器等电路称为线性时不变 (LTI)。
在频域中，输入信号的频率成分，，乘以 LTI 系统的传递函数，，以确定输出信号的频率成分，.
时间连续（模拟）滤波器是用于抑制信号中不需要的频率成分或放大信号中所需频率频段的 LTI 系统。
它们用于
- 抑制添加到信号中的噪声，
- 限制信号的频率成分，以便在公共传输通道上将其与其他具有不同频率成分的信号混合，
- 检索在公共传输通道上与其他信号混合的单个信号，
- 在以给定速率对其进行采样之前限制信号的频率成分。
由此，传递函数的典型形状将是“砖墙”类型：在某些频率频段中让所有信号通过，而在其他频率频段中则什么都不让通过。可惜，这是不可能的。可以证明，砖墙滤波器需要无限的时间才能提供输出信号的最开始部分。因此，滤波器设计者必须退而求其次，使用接近砖墙特性的但可以物理实现的传递函数：巴特沃斯、切比雪夫等。
诸如开关电容或数字滤波器之类的采样系统不是基于微分方程而是基于差分方程 进行分析。在给定的时间，采样滤波器的输出是滤波器输入和内部信号的最后 个值的函数。
求解差分方程需要借助 Z 变换。类似于拉普拉斯分析，输入信号的 Z 变换， ，乘以采样后的传递函数， ，可以得到输出信号的 Z 变换， 。利用 的逆 Z 变换可以计算输出信号的时间样本， 。
数字滤波器可以执行与模拟滤波器相同的任务，但作用于采样信号。此外，它们还可以用于：
- 在信号的原始样本之间插入额外的样本，以提高信号的采样率（插值）
- 预测信号的未来值（外推）
- 根据对信号时变特性的评估来调整它们的传递函数。
自适应滤波问题源于数据通过噪声通道传输的事实。在接收端，需要从其他数据流、符号间干扰和外部噪声中分离出信号中的数据。需要注意的是，噪声和其他数据流都可以被视为随机过程。这些过程可以被发现具有某些特征，例如均值和方差。除了分离问题之外，接收信号的不同成分（数据本身、噪声和其他数据流）的特征也随时间变化。例如，新的发射机可能会向通道中添加数据流，或者可能会添加新的噪声，或者目标数据流的发射器可能会改变。不同成分的均值和方差可能会随时间变化。
作为类比，想象一个房间里有一人说话（说话者）和一人倾听（听众）。房间里会有一些环境噪音，例如音响系统的电磁噪声，或者其他房间里其他说话者发出的微弱声音。通常情况下，如果说话者的音量与其他噪音的音量比值很高，听众将能够轻松地集中注意力到说话者身上。然而，如果第二个说话者架设了一个讲台并开始讲话，听众就会难以集中注意力，因为接收到的信号已经改变了。
从本质上讲，滤波问题就是试图从噪声信号中检测和提取有用数据。数据和背景噪声的特征可能事先未知，并且很可能随时间变化。