量子世界/附录/概率/问题

一些问题

问题 1 (蒙提霍尔问题). 一位游戏节目参赛者被赋予了选择三扇门的机会。其中一扇门后面是特等奖（比如一辆汽车）；另外两扇门后面是安慰奖（比如两只山羊）。参赛者选择了一扇门，主持人偷看了一下门后面并打开了一扇剩余的门。他打开的门后面是一只山羊。然后主持人让参赛者可以选择保留一开始选择的门，或者换成另一扇关着的门。什么给了参赛者更高的获奖机会：换门还是保留最初的选择？或者两者机会相等？

问题 2. 假设你连续抛硬币，直到第一次出现 HTT 模式。例如，如果抛出的序列是

H H T H H T H H T T H H T T T H T H

那么 HTT 模式将在第 10 次抛掷后出现。令 A(HTT) 为 HTT 出现前抛掷次数的平均数，令 A(HTH) 为 HTH 出现前抛掷次数的平均数。下列哪个是正确的？

(a) A( HTH) < ( HTT), (b) A(HTH) = A(HTT), 或 (c) A(HTH) > A(HTT).

问题 3. 假设有一种针对某种疾病（例如 HIV）的测试，准确率为 99%。假设随机抽取一个人，结果呈阳性。这个人实际上患病的概率是多少？

解决方案

问题 1. 令 $p(C1)$ 为汽车在门 1 后面的概率， $p(O3)$ 为主持人打开门 3 的概率， $p(O3|C1)$ 为给定汽车在门 1 后面，主持人打开门 3 的概率。我们有

p(O3)=p(O3|C1)\,p(C1)+p(O3|C2)\,p(C2)+p(O3|C3)\,p(C3)

以及

p(O3|C2)\,p(C2)=p(C2|O3)\,p(O3).

如果第一个选择是门 1，那么 $p(O3|C1)=1/2,$ $p(O3|C2)=1,$ 并且 $p(O3|C3)=0.$ 因此

p(O3)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}+0\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}

因此

p(C2|O3)={\frac {p(O3|C2)\,p(C2)}{p(O3)}}={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{3}}.

用文字来说：如果玩家第一次选择的是门1，主持人打开了门3，那么汽车在门2后面的概率是 $2/3,$ 而汽车在门1后面的概率是 1 – 2/3 = 1/3。一个更快的理解切换可以*双倍*获胜机会的方法是将这个游戏与另一个游戏进行比较，在这个游戏中，主持人提供选择：要么打开最初选择的门，要么打开*两个*其他门（无论哪个门有汽车，或者都没有，都可以赢）。

注意：这个结果取决于主持人*故意*只打开一扇后面有山羊的门。如果她不知道 - 或者不在乎 (!) - 汽车在哪个门后面，并且随机打开剩余的门，那么原本可能的 1/3 的结果就被她打开有山羊的门给去掉了。在这种情况下，玩家通过切换不会获得任何优势（或劣势）。所以答案取决于游戏规则，而不仅仅是事件的顺序。当然，玩家可能不知道这方面的“规则”，在这种情况下，他仍然应该切换门，因为这样做不会有任何劣势。

问题 2. 直到出现 HTT 的平均抛掷次数 A(HTT) 等于 8，而 A(HTH) = 10。为了理解为什么后者更大，想象一下你已经抛出了 HT。如果你在寻找 HTH 并且下一次抛掷得到 HTT，那么你下一次看到 HTH 的机会是在总共 6 次抛掷之后，而如果你在寻找 HTT 并且下一次抛掷得到 HTH，那么你下一次看到 HTT 的机会是在总共 5 次抛掷之后。

问题 3. 答案取决于疾病的罕见程度。假设每 10,000 人中就有 1 人患有这种疾病。这意味着 100 万人中就有 100 人。如果对 100 万人进行检测，将会有 99 个真阳性和 1 个假阴性。剩余 999,900 人的 99% - 也就是说，989,901 人 - 将会产生真阴性，而 1% - 也就是说，9,999 人 - 将会产生假阳性。随机选取一个检测呈阳性的人实际上患有这种疾病的概率是真阳性的人数除以阳性的人数，在本例中是 99/(9999+99) = 0.0098 - 小于 1%！

道德

无论是科学数据还是法庭证据 - 通常都会有相互竞争的解释，并且通常每种解释都有一个可能的部分和一个不可能的部分。例如，患有疾病是不可能的，但测试可能是正确的；没有患病是可能的，但测试结果是错误的。你可以看到准确评估竞争解释的可能性非常重要，如果你尝试过这些问题，你会发现我们并不擅长这样的评估。

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