费曼通往薛定谔的路线

在时间 $t_{2}$ 进行的测量可能结果的概率由薛定谔波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 决定。波函数 $\psi (\mathbf {r} ,t_{2})$ 由薛定谔方程通过 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1}).$ 决定。是什么决定了 $\psi (\mathbf {r} ,t_{1})$ ? 答案是，在 $t_{1}$ 进行的测量结果——还能是什么呢？实际测量结果决定了可能测量结果的概率。

两条规则

在本章中，我们将从两条基本规则推导出量子力学概率算法。首先，两个定义

备选方案是可能测量的结果序列。
每个备选方案都与一个称为振幅的复数相关联。

假设你想要计算在给定先前测量实际结果的情况下，测量可能结果的概率。你需要执行以下操作

选择任何可能在中间进行的测量序列。
为每个备选方案分配一个振幅。
应用以下任一规则

规则 A: 如果进行了中间测量（或者如果可以从其他测量推断出如果进行了测量，它们的結果将是什么），首先将备选方案振幅的绝对值平方，然后将结果相加。

规则 B: 如果没有进行中间测量（并且如果无法从其他测量推断出它们的結果将是什么），首先将备选方案振幅相加，然后将结果的绝对值平方。

在接下来的部分中，我们将探讨这些规则对各种设置的影响，并思考它们的起源——它们的raison d'être。在这里，我们将使用规则 B 来确定给定玻恩对 $\psi (x)$ 的概率解释的 ${\overline {\psi }}(k)$ 的解释。

在所谓的“连续归一化”中，具有明确动量 $\hbar k'$ 的粒子的非物理极限与波函数相关联

\psi _{k'}(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \delta (k-k')\,e^{i[kx-\omega (k)t]}dk={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{i[k'x-\omega (k')t]}.

因此，我们可以写成 $\psi (x,t)=\int {\overline {\psi }}(k)\,\psi _{k}(x,t)\,dk.$

${\overline {\psi }}(k)$ 是对无限精确动量测量结果为 $\hbar k$ 的振幅。 $\psi _{k}(x,t)$ 是在对动量进行无限精确测量后（时间为 $t$ ），对位置进行无限精确测量，结果为 $x$ 的振幅。动量测量结果为 $\hbar k.$ 此外， $\psi (x,t)$ 是在时间为 $t$ 时，对位置进行无限精确测量，结果为 $x$ 的振幅。 $t.$

因此，上面的公式告诉我们，在时间为 $t$ 时，找到 $x$ 的振幅是：

对结果为 $\hbar k$ 的振幅和
对结果为 $x$ （时间为 $t$ ）的振幅的乘积，

其中所有 $k$ 值相加。 $k.$

根据规则 A 的规定，我们会发现，找到在 $t$ 时，找到 $x$ 的概率是：

对结果为 $\hbar k$ 的概率和
对结果为 $x$ （时间为 $t$ ）的概率的乘积，

其中所有 $k$ 值相加。 $k.$

后者是根据标准概率论的期望。但如果这在规则 A 规定的条件下成立，那么在规则 B 规定的条件下，用“振幅”替换“概率”也会成立。因此，鉴于 $\psi _{k}(x,t)$ 和 $\psi (x,t)$ 是在无限精确的位置测量中获得结果 $x$ 的振幅， ${\overline {\psi }}(k)$ 是在无限精确的动量测量中获得结果 $\hbar k$ 的振幅。

注释

由于规则 B 规定动量测量实际上并未进行，因此我们无需担心进行无限精确动量测量的可能性。
如果我们将 $|\psi (x)|^{2}$ 称为“获得结果 $x,$ 的概率”，我们的意思是 $|\psi (x)|^{2}$ 在任何区间或实数线的子集上的 _积分_ 是在我们粒子在这个区间或子集内被发现的概率。

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