装置 在这个实验中，最终的测量结果（概率分配给其可能的输出）是在背景幕上检测到电子，由位于D 处的探测器检测到（D 是x 的特定值）。初始测量结果，概率分配基于此结果，是电子枪G 发射电子。（由于我们假设G 是自由电子的唯一来源，因此在狭缝板后面检测到电子也表明在狭缝板前面发射了电子。）可选的或可能的中间结果是
电子通过了左边的缝隙 (L )，
电子通过了右边的缝隙 (R )。 相应的振幅是 A L {\displaystyle A_{L}} A R . {\displaystyle A_{R}.}
为了计算它们，我们需要知道以下内容
A L {\displaystyle A_{L}} ⟨ D | L ⟩ {\displaystyle \langle D|L\rangle } ⟨ L | G ⟩ . {\displaystyle \langle L|G\rangle .} 同样地， A R = ⟨ D | R ⟩ ⟨ R | G ⟩ . {\displaystyle A_{R}=\langle D|R\rangle \,\langle R|G\rangle .}
⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } A 和B 之间的距离 d ( B A ) {\displaystyle d(BA)} ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } d ( B A ) . {\displaystyle d(BA).} 出于显而易见的原因， ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } 传播子 。
回忆一下 模糊性（“不确定性”）关系 ，这意味着 Δ p → ∞ {\displaystyle \Delta p\rightarrow \infty } Δ x → 0. {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0.} A 的情况下，在 B 处发现粒子的概率取决于初始位置 A ，但不取决于任何初始动量，因为没有初始动量。因此，粒子在 A 处被探测到后所做的任何事情都与它之前所做的无关。在概率论术语中，这意味着粒子从 G 到 L 的传播与其从 L 到 D 的传播是独立事件。因此，通过 L 从 G 到 D 的传播概率是相应概率的乘积，因此，通过 L 从 G 到 D 的传播幅度是相应幅度的乘积 ⟨ D | L ⟩ ⟨ L | G ⟩ {\displaystyle \langle D|L\,\rangle \langle L|G\rangle }
想象一个（i）半径为 r {\displaystyle r} A ，以及（ii）一个监测该球体表面单位面积的探测器。由于总表面积与 r 2 , {\displaystyle r^{2},} r 2 . {\displaystyle r^{2}.} 幅度 的绝对值（概率的平方根）与 r . {\displaystyle r.}
连续传播子的可乘性意味着它们的相位的可加性。再加上这样一个事实，即对于自由粒子，传播子 ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } A 和 B 之间的距离，这意味着 ⟨ B | A ⟩ {\displaystyle \langle B|A\rangle } d ( B A ) . {\displaystyle d(BA).}
根据规则 A，在 G 处探测到从 D 发射的电子的概率为
p A ( D ) = | ⟨ D | L ⟩ ⟨ L | G ⟩ | 2 + | ⟨ D | R ⟩ ⟨ R | G ⟩ | 2 . {\displaystyle p_{A}(D)=|\langle D|L\rangle \,\langle L|G\rangle |^{2}+|\langle D|R\rangle \,\langle R|G\rangle |^{2}.} G 等距，则 ⟨ L | G ⟩ {\displaystyle \langle L|G\rangle } ⟨ R | G ⟩ {\displaystyle \langle R|G\rangle } p A ( D ) {\displaystyle p_{A}(D)}
| ⟨ D | L ⟩ | 2 + | ⟨ D | R ⟩ | 2 = 1 / d 2 ( D L ) + 1 / d 2 ( D R ) . {\displaystyle |\langle D|L\rangle |^{2}+|\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR).} p A {\displaystyle p_{A}} x {\displaystyle x}
根据规则 A 预测的探测相对频率 p A ( x ) {\displaystyle p_{A}(x)} L 的电子，另一个代表通过R 的电子。
根据规则 B，从G 发射的电子在D 被探测的概率 p B ( D ) {\displaystyle p_{B}(D)}
| ⟨ D | L ⟩ + ⟨ D | R ⟩ | 2 = 1 / d 2 ( D L ) + 1 / d 2 ( D R ) + 2 cos ( k Δ ) / [ d ( D L ) d ( D R ) ] , {\displaystyle |\langle D|L\rangle +\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR)+2\cos(k\Delta )/[d(DL)\,d(DR)],} Δ {\displaystyle \Delta } d ( D R ) − d ( D L ) {\displaystyle d(DR)-d(DL)} k = p / ℏ {\displaystyle k=p/\hbar }
以下是根据 p B {\displaystyle p_{B}} x {\displaystyle x}
根据规则 B 预测的探测相对频率 观察到，在极小值附近，如果两个狭缝都打开，探测的概率比其中一个狭缝关闭时更低 。通常说干涉最小值处发生相消干涉，干涉最大值处发生相长干涉，但不要 将此视为物理过程的描述。我们所说的“相长干涉”仅仅是指根据规则 B 计算出的概率大于根据规则 A 计算出的相同概率，而我们所说的“相消干涉”仅仅是指根据规则 B 计算出的概率小于根据规则 A 计算出的相同概率。
以下是干涉图样随时间变化的形成过程[ 1]
100 个电子
3000 个电子
20000 个电子
70000 个电子
↑ A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, & H. Ezawa, "Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern", American Journal of Physics 57 , 117-120, 1989.
![{\displaystyle |\langle D|L\rangle +\langle D|R\rangle |^{2}=1/d^{2}(DL)+1/d^{2}(DR)+2\cos(k\Delta )/[d(DL)\,d(DR)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9ae74f81ec3d5ec56339702289b5d7197b7333)
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20000 个电子
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