这个量子世界/费曼路线/自由传播子

自由稳定粒子的传播子

传播子作为路径积分

假设我们以固定的时间间隔 $\Delta t.$ 进行 **m** 次中间位置测量。每次测量都借助于一个探测器阵列，该阵列监控 **n** 个互不相交的区域 $R_{k},$ $k=1,\dots ,n.$ 在 **规则 B** 所规定的条件下，传播子 $\langle B|A\rangle$ 现在等于幅度的总和

$\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{2}}|R_{k_{1}}\rangle \,\langle R_{k_{1}}|A\rangle .$

在双重极限 $\Delta t\rightarrow 0$ （这意味着 $m\rightarrow \infty$ ） 和 $n\rightarrow \infty .$ 发生了什么，这并不难看出。 多重求和 $\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}$ 变成了一个在从A到B 的连续时空路径上的积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$， 而振幅 $\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{1}}|A\rangle$ 变成了一个复值泛函 $Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$ —— 一个表示从A到B 的连续时空路径的连续函数的复函数。

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$

积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 不是你标准的黎曼积分 $\int _{a}^{b}dx\,f(x),$ 其中每个无穷小区间 $dx$ 做出的贡献与$f(x)$ 在该区间内取的值成正比，而是一个泛函或路径积分，其中每个宽度为${\mathcal {DC}}$ 的无穷小宽度的“路径束” 做出的贡献与 $Z[{\mathcal {C}}]$ 在该束内取的值成正比。

就目前而言，路径积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 只是一个概念的思路。 必须针对不同的情况设计合适的评估方法。

一个自由粒子

现在选择任意路径 ${\mathcal {C}}$ 从 **A** 到 **B**，然后选择路径 ${\mathcal {C}}$ 上的任意无穷小线段 $d{\mathcal {C}}$。用 惯性坐标 $t,x,y,z$ 和 $t+dt,x+dx,y+dy,z+dz,$ 分别标记 $d{\mathcal {C}}$ 的起点和终点。在一般情况下，振幅 $Z(d{\mathcal {C}})$ 将是 $t,x,y,z$ 和 $dt,dx,dy,dz.$ 的函数。对于自由粒子，$Z(d{\mathcal {C}})$ 既不依赖于 $d{\mathcal {C}}$ 在时空中的位置（由 $t,x,y,z$ 给出），也不依赖于 $d{\mathcal {C}}$ 在时空中的方向（由 四速度 $(c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds)$ 给出），而只依赖于 固有时间 间隔 $ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}.$

(由于其模等于光速，四速度依赖于三个而不是四个独立参数。连同$ds,$，它们包含与四个独立数$dt,dx,dy,dz.$相同的信息。）

因此，对于一个自由粒子，$Z(d{\mathcal {C}})=Z(ds).$ 随之，连续传播子的乘法性告诉我们

$\prod _{j}Z(ds_{j})=Z{\Bigl (}\sum _{j}ds_{j}{\Bigr )}\longrightarrow Z{\Bigl (}\int _{\mathcal {C}}ds{\Bigr )}$

由此得出，存在一个复数$z$，使得$Z[{\mathcal {C}}]=e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]},$ 其中线积分 $s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 给出了一个时钟从A到B通过${\mathcal {C}}.$时经过的时间。

一个自由而稳定的粒子

通过对${\bigl |}\langle B|A\rangle {\bigr |}^{2}$（作为$\mathbf {r} _{B}$的函数）在整个空间上的积分，我们得到了这样一个粒子的概率，该粒子在时空点$t_{A},\mathbf {r} _{A}$发射后，仍然存在于时间$t_{B}.$ 对于一个稳定的粒子，这个概率等于1。

$\int \!d^{3}r_{B}\left|\langle t_{B},\mathbf {r} _{B}|t_{A},\mathbf {r} _{A}\rangle \right|^{2}=\int \!d^{3}r_{B}\left|\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]}\right|^{2}=1$

如果你以平静的心态和开放的思想思考这个方程式，你就会注意到，如果复数 $z=a+ib$ 的实部 $a\neq 0,$，那么两个等号之间的积分要么会发散 $(a>0)$，要么会以指数形式衰减 $(a<0)$，作为 $t_{B}$ 的函数，这是由于指数因子 $e^{a\,s[{\mathcal {C}}]}$。

质量的意义

因此，自由稳定粒子的传播子只有一个“自由度”：它只依赖于 $b.$ 的值。如果固有时间以秒为单位测量，那么 $b$ 以弧度/秒为单位测量。我们可以将 $e^{ib\,s},$ （其中 $s$ 是 ${\mathcal {C}},$ 的固有时间参数化）视为粒子从 A 到 B 通过 ${\mathcal {C}},$ 携带的时钟，只要我们记住我们是在考虑量子力学数学形式主义的一个方面，而不是现实世界的一个方面。

通常

• 会插入一个负号（因此时钟实际上是顺时针转动的！）：$Z=e^{-ib\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 乘以 $2\pi$（以便我们可以将 $b$ 视为时钟“滴答”的速率——它每秒完成的循环次数）：$Z=e^{-i\,2\pi \,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 除以普朗克常数 $h$（使 $b$ 以能量单位测量，称为粒子的 静止能量）：$Z=e^{-i(2\pi /h)\,b\,s[{\mathcal {C}}]}=e^{-(i/\hbar )\,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 并乘以 $c^{2}$（使 $b$ 以质量单位测量，称为粒子的 静止质量）：$Z=e^{-(i/\hbar )\,b\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]}.$

使用相同字母 $b$ 的目的是强调它表示相同的物理量，只是以不同的单位测量。如果我们使用 自然单位，其中 $\hbar =c=1,$ 而不是传统的单位，各种 $b$ 的同一性将变得显而易见。