量子世界/费曼路线/从量子到经典

从量子到经典

作用

让我们回到传播子

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B].$

对于自由且稳定的粒子，我们发现

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{-(i/\hbar )\,m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]},\qquad s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds,$

其中$ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}$ 是与路径元素$d{\mathcal {C}}$ 相关的固有时间间隔。对于一般情况，我们发现振幅$Z(d{\mathcal {C}})$ 是$t,x,y,z$ 和$dt,dx,dy,dz$ 的函数，或者等效地，坐标$t,x,y,z$，4-速度的分量$c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds$，以及$ds$。对于稳定的但不自由的粒子，我们通过与上述振幅相同的论证得到，

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{(i/\hbar )\,S[{\mathcal {C}}]},$

我们引入了函数 $S[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}dS$，称为作用量。

对于自由且稳定的粒子，$S[{\mathcal {C}}]$ 是固有时间（或固有持续时间）$s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 乘以 $-mc^{2}$，而无穷小作用量 $dS[d{\mathcal {C}}]$ 与 $ds$ 成正比。

$S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}],\qquad dS[d{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,ds.$

让我们回顾一下。如果我们知道如何计算概率 $p(B|A)$（在所有情况下），我们就能了解稳定粒子的所有运动。如果我们知道振幅 $\langle B|A\rangle$，我们就能知道这一点。如果我们知道函数 $Z[{\mathcal {C}}]$，我们就能知道后者。如果我们知道无穷小作用量 $dS(t,x,y,z,dt,dx,dy,dz)$ 或 $dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )$（在所有情况下），我们就能知道这个函数。

我们对 $dS$ 知道些什么呢？

连续传播子的可乘性意味着与相邻无穷小路径段 $d{\mathcal {C}}_{1}$ 和 $d{\mathcal {C}}_{2}$ 相关联的作用量的可加性。换句话说，

$e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})}=e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{2})}\,e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1})}$

意味着

$dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})=dS(d{\mathcal {C}}_{1})+dS(d{\mathcal {C}}_{2}).$

因此，微分 $dS$ 在微分 $dt,d\mathbf {r}$ 中是齐次的（1 次齐次）。

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ).$

这个性质 $dS$ 使我们能够将作用 $S[{\mathcal {C}}]$ 视为与 ${\mathcal {C}}$ 相关的（特定于粒子的）长度，并将 $dS$ 视为定义了（特定于粒子的）时空几何。将 $1/dt$ 代入 $\lambda$，我们得到

$dS(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )={\frac {dS}{dt}}.$

不对吧？由于等式右边现在是一个有限值，我们不应该使用符号 $dS$ 来表示左边。我们实际上发现存在一个函数 $L(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$，称为拉格朗日函数，使得 $dS=L\,dt$.

测地线方程

考虑一个时空路径 ${\mathcal {C}}$ 从 $A$ 到 $B.$ 让我们以这样的方式改变（“变化”）它：${\mathcal {C}}$ 的每个点 $(t,\mathbf {r} )$ 都被微小地移动到相应的点 $(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ),$ 除了端点，它们保持固定：$\delta t=0$ 和 $\delta \mathbf {r} =0$ 在 $A$ 和 $B.$

如果 $t\rightarrow t+\delta t,$ 那么 $dt=t_{2}-t_{1}\longrightarrow t_{2}+\delta t_{2}-(t_{1}+\delta t_{1})=(t_{2}-t_{1})+(\delta t_{2}-\delta t_{1})=dt+d\delta t.$

同样地，$d\mathbf {r} \rightarrow d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r} .$

一般来说，变化 ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}'$ 会导致作用相应的变化：$S[{\mathcal {C}}]\rightarrow S[{\mathcal {C}}']\neq S[{\mathcal {C}}].$ 如果作用没有改变（也就是说，如果它在 ${\mathcal {C}}$ 是静止的），

$\delta S=\int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=0,$

那么 ${\mathcal {C}}$ 是由 $dS.$ 定义的几何中的测地线。（函数 $f(x)$ 在那些当 $x$ 无限小变化时其值不会改变的 $x$ 值处是驻点的。同样地，我们称泛函 $S[{\mathcal {C}}]$ 是驻点的，如果当 ${\mathcal {C}}$ 无限小变化时其值不会改变。）

为了获得一种更方便的方法来描述测地线，我们首先展开

$dS({\mathcal {C}}')=dS(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ,dt+d\delta t,d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r} )$

$=dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )+{\frac {\partial dS}{\partial t}}\,\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} +{\frac {\partial dS}{\partial dt}}\,d\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial d\mathbf {r} }}\cdot d\delta \mathbf {r} .$

这给了我们

$(^{*})\quad \int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=\int _{\mathcal {C}}\left[{\partial dS \over \partial t}\delta t+{\partial dS \over \partial \mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} \right].$

接下来，我们使用导数的乘积法则：

$d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t\right)=\left(d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t,$

$d\left({\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right)=\left(d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} ,$

用这些替换(*)中的最后两项，得到：

$\delta S=\int \left[\left({\partial dS \over \partial t}-d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+\left({\partial dS \over \partial \mathbf {r} }-d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} \right]+\int d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right).$

第二个积分消失，因为它等于括号中表达式在端点 $A$ 和 $B,$ 处的差值，其中 $\delta t=0$ 且 $\delta \mathbf {r} =0.$ 如果 ${\mathcal {C}}$ 是测地线，那么第一个积分也会消失。事实上，在这种情况下，$\delta S=0$ 必须对所有可能的（无穷小）变化 $\delta t$ 和 $\delta \mathbf {r} ,$ 成立，因此第一个积分的被积函数消失。底线是，由 $dS$ 定义的测地线满足测地线方程

${\partial dS \over \partial t}=d\,{\partial dS \over \partial dt},\qquad {\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

最小作用原理

如果一个物体从 $A$ 运动到 $B,$ 它会沿着从 $A$ 到 $B,$ 的所有路径运动，就像电子穿过两个狭缝一样。那么，为什么像行星、网球或蚊子这样的大物体看起来是沿着单一、明确的路径运动的呢？

至少有两个原因。其中之一是，物体越大，就越难满足规则 $B.$ 所规定的条件。另一个原因是，即使满足这些条件，在经典物理定律预测其不应该出现的地方发现质量为 $m$ 的物体的可能性会随着 $m$ 的增加而降低。

要理解这一点，我们需要考虑到这样一个事实：严格来说，我们无法检查一个从 $A$ 到 $B,$ 运动的物体是否沿着数学上精确的路径 ${\mathcal {C}}.$ 让我们做一个半现实的假设：我们能检查的是，一个物体是否在一条狭窄的路径束中从 $A$ 运动到 $B$——这些路径包含在一个狭窄的管子里 ${\mathcal {T}}.$ 发现它确实这样做的概率，是路径积分 $I({\mathcal {T}})=\int _{\mathcal {T}}{\mathcal {DC}}e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$ 的绝对值的平方，它对包含在 ${\mathcal {T}}.$ 内的路径求和。

让我们假设从 $A$ 到 $B$ 恰好有一条路径，对于这条路径 $S[{\mathcal {C}}]$ 是平稳的：无论我们如何稍微改变路径，它的长度都不会改变。换句话说，我们假设只存在一条测地线。我们称之为 ${\mathcal {G}},$，并且我们假设它位于 ${\mathcal {T}}.$

无论泛路径${\mathcal {C}},$ 的变化如何迅速，相位$S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 在 ${\mathcal {G}}.$ 处将是静止的。简单来说，这意味着在 ${\mathcal {G}}$ 附近的大量路径对 $I({\mathcal {T}})$ 的贡献具有几乎相同的相位。结果是，相应的相位因子 $e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]}$ 的总和的幅度很大。

如果$S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 在 ${\mathcal {C}},$ 处不是静止的，则一切都取决于它在 ${\mathcal {C}}.$ 变化下变化的速度。如果它变化得足够快，与 ${\mathcal {C}}$ 附近的路径相关的相位或多或少地均匀分布在区间 $[0,2\pi ],$ 上，因此相应的相位因子加起来为一个幅度相对较小的复数。在极限 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty ,$ 中，对 $I({\mathcal {T}})$ 的唯一显著贡献来自 ${\mathcal {G}}.$ 的无穷小邻域内的路径。

我们假设 ${\mathcal {G}}$ 位于 ${\mathcal {T}}.$。 如果它不在，并且如果 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ 变化足够快，那么与 ${\mathcal {T}}$ 中任何路径附近的路径相关的相位或多或少地均匀分布在区间 $[0,2\pi ],$ 使得在极限 $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty$ 情况下，对 $I({\mathcal {T}}).$ 没有显著的贡献。

对于自由粒子，正如你所记得的，$S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}].$ 从中我们得出，找到一个自由运动的物体在经典物理定律认为它不应该存在的地方的可能性，随着其质量的增加而减小。 由于对于足够重的物体，由于运动影响而对作用的贡献相对于 $|-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]|,$ 很小，因此对于不自由运动的物体也是如此。

那么，经典物理定律究竟是什么呢？

它们是量子物理定律在极限 $\hbar \rightarrow 0.$ 下退化的。 在这个极限下，正如你从上面所了解到的，找到一个粒子在包含测地线的管道（无论多窄）中行进的概率为 1，而找到一个粒子在不包含测地线的管道（无论多宽）中行进的概率为 0。 因此，我们可以通过说它遵循由 $dS.$ 定义的几何的测地线来陈述经典物理定律（首先是单一的“点质量”）。

这很容易推广。 具有 $n$ 个自由度的系统的传播子 - 比如一个具有 $m$ 个粒子的系统，具有 $n=3m$ 个自由度 - 是

$\langle {\mathcal {P}}_{f},t_{f}|{\mathcal {P}}_{i},t_{i}\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$

其中 ${\mathcal {P}}_{i}$ 和 ${\mathcal {P}}_{f}$ 分别是系统在初始时间 $t_{i}$ 和最终时间 $t_{f},$ 的各自配置，积分对系统所有路径求和，这些路径在系统的 $n{+}1$ 维配置时空中从 $({\mathcal {P}}_{i},t_{i})$ 到 $({\mathcal {P}}_{f},t_{f}).$ 在这种情况下，相应的经典系统也遵循由作用微分定义的几何的测地线 $dS,$ 现在它依赖于 $n$ 个空间坐标、一个时间坐标以及相应的 $n{+}1$ 个微分。

经典系统遵循由其作用定义的几何的测地线的论述通常被称为最小作用原理。更合适的名称是驻定作用原理。

能量和动量

观察到，如果 $dS$ 不依赖于 $t$（即 $\partial dS/\partial t=0$）那么

$E=-{\partial dS \over \partial dt}$

在测地线上是常数。（我们将在稍后发现负号的原因。）

同样地，如果 $dS$ 不依赖于 $\mathbf {r}$ （即，$\partial dS/\partial \mathbf {r} =0$ ) 那么

$\mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }$

在测地线上是常数。

$E$ 告诉我们投影 $dt$ 一条路径 ${\mathcal {C}}$ 的线段 $d{\mathcal {C}}$ 到时间轴上的贡献，对 ${\mathcal {C}}.$ 的作用有多大。 $\mathbf {p}$ 告诉我们投影 $d\mathbf {r}$  $d{\mathcal {C}}$ 到空间上的贡献，对 $S[{\mathcal {C}}].$ 如果 $dS$ 没有显式的对时间的依赖性，那么时间轴上的等间隔将对 $S[{\mathcal {C}}],$ 做出相等的贡献，如果 $dS$ 没有显式的对空间的依赖性，那么任何空间轴上的等间隔将对 $S[{\mathcal {C}}].$ 在前一种情况下，相等的时间间隔是物理上等价的：它们代表着相等的时间段。在后一种情况下，相等的距离间隔是物理上等价的：它们代表着相等的距离。

如果时间坐标的等间隔或空间坐标的等间隔在物理上并不等效，那么这是由于以下两个原因之一。第一个原因是使用了非惯性坐标。因为如果使用惯性坐标，那么所有自由运动的点质量在时间坐标的等间隔内都会在空间坐标上运动等间隔，这意味着等坐标间隔在物理上是等效的。第二个原因是，无论正在运动的是什么，它都不自由运动：无论如何，有些东西会影响它的运动。这是因为将物体运动的影响纳入量子物理学数学形式的一种方法，就是通过让$dS$ 依赖于 $t$ 和/或 $\mathbf {r} .$ 来使惯性坐标间隔在物理上不等效。

因此，对于一个自由运动的经典物体，$E$ 和 $\mathbf {p}$ 都是常数。由于$E$ 的恒定性源于坐标时间等间隔的物理等效性（也称为时间的“均匀性”），并且由于（在经典力学中）能量被定义为其恒定性暗示时间均匀性的量，所以 $E$ 是物体的能量。

同样，由于$\mathbf {p}$ 的恒定性源于任何空间坐标轴等间隔的物理等效性（也称为空间的“均匀性”），并且由于（在经典力学中）动量被定义为其恒定性暗示空间均匀性的量，所以 $\mathbf {p}$ 是物体的动量。

让我们微分 先前结果：

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ),$

关于$\lambda .$ 左边变为

${d(dS) \over d\lambda }={\partial dS \over \partial (\lambda dt)}{\partial (\lambda dt) \over \partial \lambda }+{\partial dS \over \partial (\lambda d\mathbf {r} )}\cdot {\partial (\lambda d\mathbf {r} ) \over \partial \lambda }={\partial dS \over \partial (\lambda dt)}dt+{\partial dS \over \partial (\lambda d\mathbf {r} )}\cdot d\mathbf {r} ,$

当右侧简化为 $dS.$。设置 $\lambda =1$ 并使用上面定义的 $E$ 和 $\mathbf {p} ,$，我们得到

$-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r} =dS.$

$dS=-m\,c^{2}\,ds$ 是一个 4-标量。由于 $(c\,dt,d\mathbf {r} )$ 是 4-向量的分量，左侧，$-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r} ,$ 是一个 4-标量当且仅当 $(E/c,\mathbf {p} )$ 是另一个 4-向量的分量。

（如果我们没有在 $E$ 前面加上负号定义它，那么这个 4-向量将具有 $(-E/c,\mathbf {p} ).$ 分量。）

在一个自由点质量的静止系 ${\mathcal {F}}'$ 中，$dt'=ds$ 且 $dS=-m\,c^{2}\,dt'.$ 使用 洛伦兹变换，我们发现这等于

$dS=-mc^{2}{dt-v\,dx/c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=-{mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,dt+{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\cdot d\mathbf {r} ,$

其中 $\mathbf {v} =(v,0,0)$ 是点质量在 ${\mathcal {F}}.$ 的速度。将它与上面框定的方程比较，可以发现对于自由点质量，

$E={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\;.$

洛伦兹力定律

为了将粒子的运动效应（无论其原因是什么）纳入考虑，我们必须修改自由粒子与路径段 $d{\mathcal {C}}.$ 相关的动作微分 $dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ 。在这样做时，我们必须注意修改后的 $dS$ (i) 仍然 对微分是齐次的 并且 (ii) 仍然是 4 标量。最直接的方法是添加一个不仅是齐次的，而且是坐标微分的线性的项

$(^{*})\quad dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-qV(t,\mathbf {r} )\,dt+(q/c)\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

信不信由你，所有经典电磁效应（与它们的起因相对）都可以用这个表达式来解释。 $V(t,\mathbf {r} )$ 是一个标量场（即，一个关于时间和空间坐标的函数，在空间坐标旋转下保持不变），$\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )$ 是一个 3-矢量场，而 $(V,\mathbf {A} )$ 是一个 4-矢量场。我们称 $V$ 和 $\mathbf {A}$ 分别为标量势和矢量势。粒子特有的常数 $q$ 是电荷，它决定了特定种类的粒子受到电磁影响的强度。

如果一个质点不是自由的，则上一节末尾的表达式给出了它的动能 $E_{k}$ 和它的动量 $\mathbf {p} _{k}.$ 将 (*) 转化为以下形式

$dS=-(E_{k}+qV)\,dt+[\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} ]\cdot d\mathbf {r}$

并将其代入定义

$(^{*}{}^{*})\quad E=-{\partial dS \over \partial dt},\qquad \mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} },$

我们得到

$E=E_{k}+qV,\qquad \mathbf {p} =\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} .$

$qV$ 和 $(q/c)\mathbf {A}$ 分别是粒子的势能和势动量。

现在，我们将 (**) 代入测地线方程

${\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

对于等式右侧，我们得到

$d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}d\mathbf {A} =d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}\left[dt{\partial \mathbf {A} \over \partial t}+\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} \right],$

而等式左侧的结果为

$-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}{\partial (\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} ) \over \partial \mathbf {r} }=-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}\left[\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} +d\mathbf {r} \times \left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)\right].$

两项抵消，最终结果为

$d\mathbf {p} _{k}=q\underbrace {\left(-{\partial V \over \partial \mathbf {r} }-{1 \over c}{\partial \mathbf {A} \over \partial t}\right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {E} }dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\underbrace {\left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {B} }=q\,\mathbf {E} \,dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\,\mathbf {B} .$

当一个经典物体沿测地线的线段 $d{\mathcal {G}}$ 运动时，它的动量会改变，改变量由两项之和组成，一项是时间分量 $dt$ 的 $d{\mathcal {G}}$ 的线性函数，另一项是空间分量 $d\mathbf {r} .$ 的线性函数。 $dt$ 对 $\mathbf {p} _{k}$ 变化的贡献取决于 *电场* $\mathbf {E} ,$ 以及 $d\mathbf {r}$ 对变化的贡献取决于 *磁场* $\mathbf {B} .$ 最后一个方程通常写成

${d\mathbf {p} _{k} \over dt}=q\,\mathbf {E} +{q \over c}\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,$

被称为 *洛伦兹力定律*，并伴随以下故事：存在一个叫做电磁场的物理实体，它无处不在，并对电荷 $q$ 施加电场力 $q\mathbf {E}$ 和磁场力 $(q/c)\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$

(注意：洛伦兹力定律的这种形式在 高斯单位制 中成立。在 MKSA 单位制 中，$c$ 会消失。)

经典故事从何而来？

想象时空中的一个小矩形，其四个角为

$A=(0,0,0,0),\;B=(dt,0,0,0),\;C=(0,dx,0,0),\;D=(dt,dx,0,0).$

让我们计算从 $A$ 到 $D$ 通过 $B$ 的路径对作用量的电磁贡献，对于单位电荷 ($q=1$) 在自然单位 ( $c=1$ )

$S_{ABD}=-V(dt/2,0,0,0)\,dt+A_{x}(dt,dx/2,0,0)\,dx$

$\quad =-V(dt/2,0,0,0)\,dt+\left[A_{x}(0,dx/2,0,0)+{\partial A_{x} \over \partial t}dt\right]dx.$

接下来，从 $A$ 到 $D$ 通过 $C$ 的路径对作用量的贡献。

$S_{ACD}=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-V(dt/2,dx,0,0)\,dt$

$=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-\left[V(dt/2,0,0,0)+{\partial V \over \partial x}dx\right]dt.$

观察一下差值

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left(-{\partial V \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial t}\right)dt\,dx=E_{x}\,dt\,dx.$

或者，您可以将 $\Delta S$ 视为环路 $A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A.$ 作用的电磁贡献。

让我们对一个带有角点的矩形重复计算。

$A=(0,0,0,0),\;B=(0,0,dy,0),\;C=(0,0,0,dz),\;D=(0,0,dy,dz).$

$S_{ABD}=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+A_{y}(0,0,dy/2,dz)\,dy$

$=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+\left[A_{y}(0,0,dy/2,0)+{\partial A_{y} \over \partial z}dz\right]dy,$

$S_{ACD}=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+A_{z}(0,0,dy,dz/2)\,dz$

$=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+\left[A_{z}(0,0,0,dz/2)+{\partial A_{z} \over \partial y}dy\right]dz,$

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z}\right)dy\,dz=B_{x}\,dy\,dz.$

因此，此环路作用的电磁贡献等于 $\mathbf {B}$ 穿过环路的通量。

记住 (i) 斯托克斯定理 和 (ii) 定义 of $\mathbf {B}$ 在 terms of $\mathbf {A} ,$ 我们发现

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

换句话说，磁通量通过回路 $\partial \Sigma$ (或通过任何表面 $\Sigma$ 被 $\partial \Sigma$ 包围) 等于 $\mathbf {A}$ 在回路周围的环流 (或围绕回路包围的任何表面)。

环流 $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 绕有限矩形 $A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A$ 的影响是增加 (或减少) 与线段 $A\rightarrow B\rightarrow D$ 相关的动作，相对于与线段 $A\rightarrow C\rightarrow D.$ 相关的动作。如果两个线段的动作相等，那么我们可以预期从 $A$ 到 $D$ 的最小作用路径是一条直线。如果一个线段的动作大于另一个，那么我们可以预期从 $A$ 到 $D$ 的最小作用路径会偏离动作更大的线段。

将此与经典故事进行比较，经典故事通过调用作用于磁场和粒子运动方向垂直的力来解释带电粒子在磁场中路径的曲率。 对同一效应的量子力学处理没有提供这样的解释。量子力学不涉及任何机制。它只是告诉我们，对于从$A$ 到 $D,$ 运动的足够大的电荷，找到它已在不包含连接$A$ 与 $D,$ 的作用测地线的任何路径束中的概率实际上为 0。

同样的事情也适用于经典故事，该故事认为带电粒子在时空平面中的路径曲率是由于作用于电场方向的力造成的。（观察到，时空平面中的曲率等同于加速度或减速。特别是，包含$x$ 轴的时空平面中的曲率等同于平行于$x$ 轴的方向的加速度。）在这种情况下，相应的循环是 4 向量势$(cV,\mathbf {A} )$ 在时空环路周围的循环。