量子世界/费曼路线/自由传播子

自由稳定粒子的传播子

传播子作为路径积分

假设我们在固定时间间隔内进行 m 次中间位置测量$\Delta t.$ 每次测量都借助于探测器阵列，监测 n 个互不相交的区域$R_{k},$ $k=1,\dots ,n.$ 根据 规则 B 的规定，传播子 $\langle B|A\rangle$ 现在等于振幅之和

$\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{2}}|R_{k_{1}}\rangle \,\langle R_{k_{1}}|A\rangle .$

在双重极限 $\Delta t\rightarrow 0$（这意味着 $m\rightarrow \infty$）和 $n\rightarrow \infty .$ 发生的事情并不难理解。多元求和 $\sum _{k_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=1}^{n}$ 变成了一个在从 **A** 到 **B** 的连续时空路径上的积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$，而振幅 $\langle B|R_{k_{m}}\rangle \cdots \langle R_{k_{1}}|A\rangle$ 变成了一个复值泛函 $Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$——一个代表从 **A** 到 **B** 的连续时空路径的连续函数的复函数。

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]$

积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 不是标准的黎曼积分 $\int _{a}^{b}dx\,f(x),$，在黎曼积分中，每个无穷小区间 $dx$ 的贡献与 $f(x)$ 在区间内取的值成正比，而这是一个泛函或路径积分，其中每个宽度为 ${\mathcal {DC}}$ 的无穷小宽度的路径“束”的贡献与 $Z[{\mathcal {C}}]$ 在该束中取的值成正比。

目前，路径积分 $\int \!{\mathcal {DC}}$ 仅仅是一个想法的概念。必须根据具体情况设计适当的评估方法。

自由粒子

现在从 A 到 B 选择任意路径 ${\mathcal {C}}$，然后选择 ${\mathcal {C}}$ 的任何无穷小线段 $d{\mathcal {C}}$。用 惯性坐标 $t,x,y,z$ 和 $t+dt,x+dx,y+dy,z+dz,$ 分别标记 $d{\mathcal {C}}$ 的起点和终点。在一般情况下，振幅 $Z(d{\mathcal {C}})$ 将是 $t,x,y,z$ 和 $dt,dx,dy,dz.$ 在自由粒子的情况下， $Z(d{\mathcal {C}})$ 既不依赖于 $d{\mathcal {C}}$ 在时空中的位置（由 $t,x,y,z$ 给出），也不依赖于 $d{\mathcal {C}}$ 的时空方向（由 四速度 $(c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds)$ 给出），而仅依赖于 固有时间 间隔 $ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}.$

(由于其范数等于光速，四速度依赖于三个而不是四个独立的参数。与 $ds,$ 它们包含与四个独立的数字 $dt,dx,dy,dz.$ 相同的信息。）

因此对于一个自由粒子 $Z(d{\mathcal {C}})=Z(ds).$ 使用这一点，连续传播子的可乘性 告诉我们

$\prod _{j}Z(ds_{j})=Z{\Bigl (}\sum _{j}ds_{j}{\Bigr )}\longrightarrow Z{\Bigl (}\int _{\mathcal {C}}ds{\Bigr )}$

因此存在一个复数 $z$ 使得 $Z[{\mathcal {C}}]=e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]},$ 其中 线积分 $s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]=\int _{\mathcal {C}}ds$ 给出了时钟从 A 到 B 通过 ${\mathcal {C}}.$ 时经过的时间。

一个自由且稳定的粒子

通过对 ${\bigl |}\langle B|A\rangle {\bigr |}^{2}$ （作为 $\mathbf {r} _{B}$ 的函数）在整个空间上进行积分，我们得到了在时空点 $t_{A},\mathbf {r} _{A}$ 发射的粒子在时间 $t_{B}.$ 仍然存在的概率。对于一个稳定的粒子，该概率等于 1。

$\int \!d^{3}r_{B}\left|\langle t_{B},\mathbf {r} _{B}|t_{A},\mathbf {r} _{A}\rangle \right|^{2}=\int \!d^{3}r_{B}\left|\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{z\,s[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B]}\right|^{2}=1$

如果你用平静的心和开放的思想思考这个方程式，你会注意到，如果复数 $z=a+ib$ 的实部 $a\neq 0,$，那么两个等号之间的积分要么会爆炸 $(a>0)$，要么会随着 $t_{B}$ 指数级下降 $(a<0)$，这是由于指数因子 $e^{a\,s[{\mathcal {C}}]}$ 造成的。

质量的意义

因此，自由稳定粒子的传播子只有一个“自由度”：它完全依赖于 $b.$ 的值。如果以秒为单位测量固有时间，那么 $b$ 以弧度/秒为单位。我们可以将 $e^{ib\,s},$（其中 $s$ 是 ${\mathcal {C}},$ 的固有时间参数化）看作是通过 ${\mathcal {C}},$ 从 A 到 B 行进的粒子所携带的时钟，前提是我们必须记住，我们正在思考量子力学数学形式主义的一个方面，而不是现实世界的一个方面。

惯例是

• 插入一个负号（因此时钟实际上是顺时针转动的）：$Z=e^{-ib\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 乘以$2\pi$（以便我们可以将$b$视为时钟“滴答”的速率——它每秒完成的循环次数）：$Z=e^{-i\,2\pi \,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 除以普朗克常数$h$（使得$b$以能量单位衡量，被称为粒子的静止能量）：$Z=e^{-i(2\pi /h)\,b\,s[{\mathcal {C}}]}=e^{-(i/\hbar )\,b\,s[{\mathcal {C}}]},$
• 并乘以$c^{2}$（使得$b$以质量单位衡量，被称为粒子的静止质量）：$Z=e^{-(i/\hbar )\,b\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]}.$

使用相同的字母$b$的目的在于强调它表示的是相同的物理量，只是以不同的单位测量。如果我们使用自然单位，其中$\hbar =c=1,$而不是传统的单位，各种$b$'s的同一性将是显而易见的。