传统算盘与珠算/除法/学习除法表

除法表的记忆。

除法表包含 45 条规则，包括 9 个对角元素，用于多位除数。

除法表 (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

与我们在乘法表中找到的相同数量的独立元素（考虑到此操作的交换性），其记忆是我们在学校童年时期的壮举之一。因此，记忆除法表与学习乘法表类似。

这些规则

• 从操作的角度来看，这些规则的阅读或解释会有所不同，具体取决于我们使用的是传统 (TDA) 还是现代 (MDA) 除法排列。
  • 使用 MDA 时，规则 a/b>q+r 必须读作：“将 q 作为中间商位写到左边，清除 a 并将 r 添加到右边”
  • 使用 TDA 时，规则 a/b>q+r 必须读作：“将 a 更改为 q 作为中间商位，并将 r 添加到右边”
• 从理论的角度来看，每条规则都表达了欧几里得除法的结果：${\textstyle (10\times a)/b=q,r}$ ($q$: 商，$r$: 余数，$a,b$ 是 1 到 9 的数字) 或等效地 ${\textstyle 10a=q\cdot b+r}$

如果我们考虑最后一点，实际上没有必要记忆除法规则，因为我们可以在需要时通过简单的思维过程来获得它们。但随后我们会做出与现代除法方法类似的脑力劳动，并且会偏离传统方法的理念。毫无疑问，传统方法的效率和优点只有通过记忆规则才能实现，我们只应该在学习阶段才诉诸上述思维过程，当某些规则难以记忆时。

幸运的是，除法表中出现的一系列模式可以帮助我们更容易地学习它，在总共 45 条规则中只留下 14 条难的规则。

简单的规则

在章节中：传统除法指南 (帰 除法) 我们已经提到过，除以 9、5 和 2 的除法规则，以及对角线规则，具有特别简单的结构，允许几乎立即记忆。

简单的规则

对角线	除以 9	除以 5	除以 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

出于这个原因，本章中展示的示例只使用了以 2、5 和 9 开头的除数。如果您用这些除数练习几个示例，那么记忆这 22 条规则（几乎是总数的一半！）对您来说并不困难；这是对工作量的巨大减少，而且还不是唯一的减少。

除以 8

在剩下的规则中，除以 8 的序列最长，但并非最难，因为它具有内部结构

除以 8 的规则

1/8>1+2	5/8>6+2
2/8>2+4	6/8>7+4
3/8>3+6	7/8>8+6
4/8>5+0

撇开 4/8>5+0（将其视为 8x5 = 40），两个子序列 1、2、3 和 5、6、7 具有相同的余数，商则简单如 1、2、3 和 6、7、8；所以，毫无疑问，这不会是你学习中最难的序列。

次对角线规则

最后，作为学习的最后手段，请注意表中对角线旁的以下一系列术语。

次对角线规则

4/5>8+0

5/6>8+2

6/7>8+4

7/8>8+6

8/9>8+8

这里实际上只有两个新规则，但掌握上面的表格结构也将有助于你记忆除数为 5、8 和 9 的规则。

难的规则

总之，除法表中包含的 45 条规则中，有 31 条属于之前的模式之一（灰色）

除法表 (八算, Hassan, Bā suàn)

1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

我们只剩下 14 条“难的”规则需要记忆，没有其他帮助。这不再是一项艰巨的任务。振作起来，不要放弃！只要付出一些努力和练习，传统珠算的奥妙就会掌握在你的手中！

组合的乘除法表

以下是一个简单的历史笔记，几乎没有实际意义。

英语中的乘法表包含所有 81 个两位数的积，无论顺序如何；也就是说，它包含 8x9 = 72 和 9x8 = 72，考虑到乘法的交换性，这是不必要的。相反，在中文中，它只包含这些对中的一个项 8x9 = 72；始终以第一个因子小于或等于第二个因子。另一方面，除法规则的表达是以除数优先，而除数始终大于被除数，除了我们称为对角线的规则，其中除数等于被除数。这使得我们可以构思一个组合的乘除法表，它涵盖了作为运算数的数字对的整个“空间”

组合的乘除法表

9✕9 81	9\8 8+8	9\7 7+7	9\6 6+6	9\5 5+5	9\4 4+4	9\3 3+3	9\2 2+2	9\1 1+1
8✕9 72	8✕8 64	8\7 8+6	8\6 7+4	8\5 6+2	8\4 5+0	8\3 3+6	8\2 2+4	8\1 1+2
7✕9 63	7✕8 56	7✕7 49	7\6 8+4	7\5 7+1	7\4 5+5	7\3 4+2	7\2 2+6	7\1 1+3
6✕9 54	6✕8 48	6✕7 42	6✕6 36	6\5 8+2	6\4 6+4	6\3 5+0	6\2 3+2	6\1 1+4
5✕9 45	5✕8 40	5✕7 35	5✕6 30	5✕5 25	5\4 8+0	5\3 6+0	5\2 4+0	5\1 2+0
4✕9 36	4✕8 32	4✕7 28	4✕6 24	4✕5 20	4✕4 16	4\3 7+2	4\2 5+0	4\1 2+2
3✕9 27	3✕8 24	3✕7 21	3✕6 18	3✕5 15	3✕4 12	3✕3  9	3\2 2+6	3\1 3+1
2✕9 18	2✕8 16	2✕7 14	2✕6 12	2✕5 10	2✕4  8	2✕3  6	2✕2  4	2\1 5+0
1✕9  9	1✕8  8	1✕7  7	1✕6  6	1✕5  5	1✕4  4	1✕3  3	1✕2  2	1✕1  1

我们已经更改了除法规则的写法，以适应中文中使用的参数顺序。为了突出这一点，我们用“\”替换了“/”，因此上述表格中出现的除法规则必须以以下形式解释：读作 **a\b c+d** : 作为：**a** 除以 **b0** **c** 次，余数为 **d**。

组合表有 81 个元素或规则，我们必须添加对角线规则。

对角线

1/1>9+1

2/2>9+2

3/3>9+3

4/4>9+4

5/5>9+5

6/6>9+6

7/7>9+7

8/8>9+8

9/9>9+9

以及上一章中给出的向下修正规则。

向下修正规则（两位数除数）

除以	将 q 修正为	添加到余数
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

这些规则是分开研究的。这总共加起来有 99 条规则，我们可以再加上大约 50 条加减法规则。传统珠算学习本质上就是记忆和练习这 150 条规则。

统计规则

以下是实践中出现的问题，而不是过去任何书本上的问题。除数为 1 和 2 的对角线规则

1 和 2 的对角线规则

2/2>9+2

1/1>9+1

在某种意义上是过度的，因为我们经常被迫多次向上修正除数。在实践中，以下两个 *统计* 规则（为了给它们一个名称）表现得更好，允许更快的计算。

统计规则

2/2>7+6

1/1>7+3

请在练习中试一试！