传统算盘与珠算/除法/传统除法指南（帰除法）

介绍

传统除法方法（TD），kijohou，guī chúfǎ（帰除法），是算盘中使用的两种主要除法方法之一。该方法利用乘法表和特定的除法表，并且至少在 4 个世纪以来一直是算盘学习的标准方法，在 1930 年代失去了流行度。作为一个逐位或慢除法算法，已在上一章中介绍，其中揭示了它的特殊特征：它不需要思考，只需要遵循一些规则。本文档是其在算盘上使用的介绍，并假设读者已经熟练掌握现代除法（MD）方法。

除法表

在上一章现代除法和传统除法：密切相关中，介绍了以下除法表

除法表（八算，*Hassan*，*Bā suàn*）
1/9>1+1	2/9>2+2	3/9>3+3	4/9>4+4	5/9>5+5	6/9>6+6	7/9>7+7	8/9>8+8	9/9>9+9
1/8>1+2	2/8>2+4	3/8>3+6	4/8>5+0	5/8>6+2	6/8>7+4	7/8>8+6	8/8>9+8
1/7>1+3	2/7>2+6	3/7>4+2	4/7>5+5	5/7>7+1	6/7>8+4	7/7>9+7
1/6>1+4	2/6>3+2	3/6>5+0	4/6>6+4	5/6>8+2	6/6>9+6
1/5>2+0	2/5>4+0	3/5>6+0	4/5>8+0	5/5>9+5
1/4>2+2	2/4>5+0	3/4>7+2	4/4>9+4
1/3>3+1	2/3>6+2	3/3>9+3
1/2>5+0	2/2>9+2
1/1>9+1

其中每个单元格中的欧几里得除法结果 $(10\times a)/b=q,r$ ( $q$ : 商， $r$ : 余数， $a,b$ 从 1 到 9 的数字) 以 $a/b>q+r$ 的形式表示，其原因将在下面看到。这意味着以下内容成立

$10a=q\cdot b+r$

该表有三个区域，对应于以下情况：如果除数有 $n$ 位数，我们将其与被除数的前 n 位数（从左侧开始）进行比较，必要时添加尾随零，则可能会发生三种情况

被除数大于或等于除数（例如 $770/689$ ）
被除数小于除数，并且除数的第一位数等于被除数的第一位数（例如 $670/689$ ）
被除数小于除数，并且除数的第一位数大于被除数的第一位数（例如 $570/689$ ）

上面的除法表中对角线以下的空白单元格对应于情况1。它们可以按照在其他地方看到的表格的样式填充^[1]，但为了简单起见，我们将其保留为空白。如果在除法过程中我们落入该区域，我们将继续，目前，简单地像下面的示例中看到的那样，向上修改先前的商位数字。

对角线元素（灰色）对应于情况2，只有当除数至少有两个数字时才会出现。

最后，其他非对角线元素对应于情况3，可以认为是最重要的研究对象。

毫无疑问，记忆除法表需要时间和精力，在投入大量时间和精力之前，您想知道传统的除法方法是否适合您。幸运的是，九、五和二的除法表非常简单，可以几乎立即记忆（见下文），以及多位数除数的对角线元素。这意味着我们可以使用以 9、5 或 2 开头的除数学习这种传统技术，而无需太多努力，从而能够决定是否值得花费时间学习整个表。在下文中，我们将使用基于此类除数的示例。

易于记忆的除法规则
对角线	除以 9	除以 5	除以 2
1/1>9+1	1/9>1+1	1/5>2+0	1/2>5+0
2/2>9+2	2/9>2+2	2/5>4+0
3/3>9+3	3/9>3+3	3/5>6+0
4/4>9+4	4/9>4+4	4/5>8+0
5/5>9+5	5/9>5+5
6/6>9+6	6/9>6+6
7/7>9+7	7/9>7+7
8/8>9+8	8/9>8+8
9/9>9+9

为什么除法规则包含余数？

假设我们要用 9 除 35，3/9>3+3 规则告诉我们必须使用 3 作为中间商，下一步将从 35 中减去 3✕9=27 的块，留下余数 8。如果我们也记住余数，我们可以通过以下方式节省此乘法步骤：我们取消、清除或擦除被除数的第一位数字，在本例中为 3，然后我们将余数 (3) 加到被除数的下一位数字 (5)。这样，我们就可以得到相同的结果，但不用乘法表。对于一位数除数，我们永远不必求助于乘法表，而在多位数除数的情况下，以同样的方式进行，我们将节省一次必要的乘法。我们将在下面的算盘上看到它，但首先我们需要说明一下如何在算盘上安排除法。

现代除法排列 (MDA)

在本教科书中，我们假设读者已经学习了现代算盘方法，正如高岛孝司^[2] 的著作所代表的那样。在以下示例中，我们将使用您已经熟悉的相同除法布局来说明传统除法，以便您更容易理解它们，并使用您通常的 4+1 类型算盘（如果您愿意）。我们将此布局称为现代除法排列 (MDA)，但这不是传统上在算盘上组织除法的方式。稍后，我将介绍传统除法排列 (TDA)，正如我们将看到的那样，它有一些优点和一些缺点，包括需要（或至少是方便）使用带有额外上珠的专用算盘。

在使用MDA 时，您可以使用您已经知道的关于单位杆的规则（如果您需要它们）。

让我们看看上面部分的 35÷9 示例，首先不使用（规则）余数

35÷9 不使用（规则）余数
算盘	注释
ABCDEFGH
9 35	除数在 A 中，被除数在 GH 中，规则：3/9>3+3
+3	将商 3 填入 E
9 335
-27	从 GH 中减去块 3✕9=27
9 3 8	新的余数/被除数在 H 中
...	...

现在使用余数

35÷9 使用（规则）余数
算盘	注释
ABCDEFGH
9 35	除数在 A 中，被除数在 GH 中，规则：3/9>3+3
+3	将商 3 填入 E
9 335
-3	清除 G 中的第一个被除数数字
9 3 5
9 +3	将余数 3 加到 H
9 3 8	新的余数/被除数在 H 中
...	...

也就是说

在使用MDA 时，规则a/b>q+r 必须这样读：“将q 作为中间商数字写到左侧，清除a 并将r 加到右侧”

一位数除数

数字 123456789 传统上被用来演示古代中国^[3] 和日本作品^[4]^[5] 中乘法表和除法表的用法。在这里，我们将使用“简单除数” 9、5 和 2 来进行演示。

示例 123456789÷9=13717421

123456789÷9=13717421
算盘	注释
ABCDEFGHIJ	(除数未标明)
123456789	规则 1/9>1+1
+1	将商 1 填入 A
-1	清除 B
+1	将余数 1 加到相邻数字
1 33456789	规则 3/9>3+3
13 6456789	规则 6/9>6+6
1361056789
+1-9	向上修正
137 156789	规则 1/9>1+1
1371 66789	规则 6/9>6+6
1371612789
+1-9	向上修正
13717 3789	规则 3/9>3+3
1371731089
+1-9	向上修正
137174 189	规则 1/9>1+1
1371741 99
+1-9	向上修正
1371742 9
+1-9	向上修正
13717421	完成！

示例 123456789÷5=24691357.8

123456789÷5=24691357.8
算盘	注释
ABCDEFGHIJ	(除数未标明)
123456789	规则 1/5>2+0
2 23456789	规则 2/5>4+0
24 3456789	规则 3/5>6+0
246 456789	规则 4/5>8+0
2468 56789
+1-5	向上修正
2469 6789
+1-5	向上修正
24691 1789	规则 1/5>2+0
246912 789
+1-5	向上修正
246913 289	规则 2/5>4+0
2469134 89
+1-5	向上修正
2469135 39	规则 3/5>6+0
24691356 9
+1-5	向上修正
24691357 4	规则 3/5>6+0
246913578	完成！

示例 123456789÷2=61728394.5

123456789÷2=61728394.5
算盘	注释
ABCDEFGHIJ	(除数未标明)
123456789	规则 1/2>5+0
5 23456789
+1-2	向上修正
6 3456789
+1-2	向上修正
61 1456789	规则 1/2>5+0
615 456789
+2-4	向上修正两次
617 56789
+2-4	向上修正两次
6172 16789	规则 1/2>5+0
61725 6789
+3-6	向上修正三次
61728 789
+3-6	向上修正两次
617283 189	规则 1/2>5+0
6172835 89
+4-8	向上修正四次
6172839 9
+4-8	向上修正四次
61728394 1	规则 1/2>5+0
617283945	完成！

多位数除数

例如，考虑 $359936/9728=37$ ，在这种情况下，方便地将除数视为由一个除数（第一个数字）和一个乘数（除数的其余数字）组成，即 $9728=dmmm$ ，其中 $d$ 是除数 (9)， $mmm$ 是乘数 (728)。这种除法方法的中文和日文名称（中文为归除 Guīchú，日文为归除法 Kijohou）指的是这一点：归, Guī, Ki 是标题，除, chú, jo 是乘数^[6]。

在这种情况下，操作方法如下

首先，我们只考虑除数 $d$ ，并与一位数除数的情况进行完全相同的操作，即遵循除法规则：获得中间商 $q$ ，并将余数（来自规则）加到相邻的列。
然后，如果可以，我们从余数中减去块 $q\times {\text{multiplier}}$ ；否则，我们必须向下修正 $q$ ，并使用以下规则将 $d$ 恢复到余数。

向下修正规则（两位数除数）
除以	将 q 修正为	加到余数
1	q-1	+1
2	q-1	+2
3	q-1	+3
4	q-1	+4
5	q-1	+5
6	q-1	+6
7	q-1	+7
8	q-1	+8
9	q-1	+9

这些规则适用于两位数除数，对于更多位数的除数，情况可能会更加复杂，例如MD（参见下面的示例 $23712/5928$ ）。让我们看一下上述情况

示例 359936÷9728=37

359936÷9728=37
算盘	注释
ABCDEFGHIJKLM
9728 359936	规则 3/9>3+3
9728 3 89936	在 G 中输入 3，清除 H 并将 3 加到 I
-2184	从 I-L 中减去块 3✕乘数 3✕728=2184^a
9728 3 68096	规则 6/9>6+6
9728 3614096	在 H 中输入 6，清除 I 并将 6 加到 J
-4368	从 J-M 中减去块 6✕乘数 6✕728=4368
9728 36 9728	向上修正
+1-9728
9728 37	完成！

注意： ^a 这是一个简写符号，意味着必须分别从IJ、JK 和 KL 中减去 3✕7、3✕2 和 3✕8。

示例 235÷59=3.98…

235÷59=3.98…
算盘	注释
ABCDEFGHIJ
59 235	规则 2/5>4+0
59 4 35	在 E 中输入 4，清除 F 并将 0 加到 G
-36	无法从 GH 中减去块 4✕乘数 4✕9=36！
-1+5	根据上述规则向下修正
59 3 85
-27	从 GH 中减去块 3✕乘数 3✕9=27
59 3 58	规则 5/5>9+5
59 3913	在 F 中输入 9，清除 G 并将 5 加到 H
-81	从 HI 中减去块 9✕乘数 9✕9=81
59 39 49	规则 4/5>8+0
...	等等。

示例 23711÷5928=3,9998…

标题文本
算盘	注释
ABCDEFGHIJKLMN
5928 23711	规则 2/5>4+0
5928 4 3711	在 G 中输入 4，清除 H 并将 0 加到 I
-36	从 IJ 中减去 4✕9=36
5928 4 111
-8	从 JK 中减去 4✕2=8
5928 4 31
-32	无法从 KL 中减去 4✕8=32！
-1+592	向下修正并将减去的多余部分恢复到 IJK
5928 3 5951
-24	继续正常进行，从 KL 中减去 3✕8=24
5928 3 5927	规则 5/5>9+5
...	等等。

传统除法排列 (TDA)

如上所述，排列一般除法问题有两种基本方法。让我们并排查看它们。

现代除法排列 (MDA)，如小岛解释的那样^[2]，

MDA 25÷5=5
算盘	注释
ABCDEF
5 25	被除数从 E 开始
5 5	除法后，商从 D 开始

传统除法排列 (TDA)，从算筹时代^[7]一直沿用至 20 世纪初^[8]，出现在古代书籍中。

TDA 25÷5=5
算盘	注释
ABCDEF
5 25	25÷5=5 被除数从 E 开始
5 5	除法后，商从 E 开始

到目前为止，我们在传统除法中使用MDA，没有遇到任何问题。然而，TDA 在任何除法方法中都会出现问题，包括传统除法。这种麻烦的性质是由于除数和被除数/余数之间的冲突频繁发生（也就是说，它们都需要同时使用同一列），因此需要特殊技巧或算盘来处理这种冲突。尽管如此，TDA 至少从 13 世纪起就一直与传统除法方法一起使用，而 MDA 直到现代才被使用。很明显，TDA 有一定的优势，但目前尚不清楚这些优势是否足以证明其在历史上的应用。

它少用一根算筹。
结果不会像MDA 那样过多地向左移动，这在链式操作的情况下很重要。这一点和上述几点使TDA 更加适合使用少量算筹的算盘，例如传统的 13 档算盘/算盘。
它节省了一些手指动作；例如，在使用传统（中国）除法进行 6231÷93=67 的运算中，我用TDA 算出 14 个手指动作，而用MDA 算出 24 个手指动作。
手的移动距离更短。
它更不容易出错，因为跳过的算筹更少。

避免上述冲突的方法是接受被除数/余数的第一列在应用中国除法规则后可以溢出，并暂时接受大于 9 的值（最高可达 18），同时提供一些机制来处理这种溢出。有趣的是，似乎没有古代文献解释如何进行后者，但我们将在章节中进行：处理溢出！。

在 5+2 或 5+3 算盘的情况下，我们可以使用额外的上珠来表示 10 到 20 之间的数字，在 5+2 的情况下使用悬珠（悬珠 xuán zhū 在中文中，kenshu 在日语中）。

第三颗珠子或悬珠预计只会在约 1% 的情况下使用，这证明了采用 5+2 模型作为标准而不是 5+3 的合理性。（如果您有兴趣在任何算盘上使用TDA，请前往处理溢出章节，以了解如何操作）。

当使用TDA 时，规则a/b>q+r 必须读作：“将a 更改为q 作为中间商数字，并将r 加到右边”。

要查看使用TDA进行TD的示例，请参阅传统除法示例章节。

关于TD的效率

正如你在单一位数除数的例子中所看到的，TD效率随着除数以较低数字开头而降低，因为我们需要更频繁地向上修正。当除数以1开头时，我们可以说效率为零；事实上，除了1/1>9+1（这在统计学上是过度的，参见章节：学习除法表）之外，我们甚至没有除法规则。对于最后这种情况，诀窍是在原位（章节：二的幂的除法）用2分别除除数和被除数，这很快，然后按照正常方法进行除法；现在除数以5到9之间的数字开头。例如： $128/16$

标题文本
算盘	注释
ABCDEFGHI
16 128	在原位除以2
8 64	规则 6/8>7+4
8 7 8
+1-8	向上修正
8 8	完成！

$128/16=(128/2)/(16/2)=64/8=8$

在其他情况下，我们对MD的直觉和经验可以帮助我们。

与MD相比，TD这种较低的效率是我们要付出的代价，以节省我们对尝试减去中间商数的心理工作。

参考文献

↑ "割り算九九". 日语维基百科. {{cite web}}: 未知参数 |Language= 被忽略 (|language= 建议) (帮助); 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助); 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)
↑ ^a ^b Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9
↑ Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)
↑ Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)
↑ Shinoda, Shosaku (篠田正作) (1895). Jitsuyo Sanjutsu (実用算術) (in Japanese). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)
↑ Lisheng Feng (2020), "Traditional Chinese Calculation Method with Abacus", in Jueming Hua; Lisheng Feng (eds.), Thirty Great Inventions of China, Jointly published by Springer Publishing and Elephant Press Co., Ltd, ISBN 978-981-15-6525-0
↑ Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299]. Suànxué Qǐméng (算學啟蒙) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)
↑ Kwa Tak Ming (1922), The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus (PDF), San Francisco: Service Supply Co.

进一步阅读

Knott, Cargill G. (1886), "The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects", Transactions of the Asiatic Society of Japan, 14: 18–73 讨论了传统除法
Totton Heffelfinger (2013). "算盘与单位杆 - 除法". 算盤 Abacus: 珠子的奥秘. 存档于原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)
Totton Heffelfinger (2013). "短除法技巧 - 中国算盘". 算盤 Abacus: 珠子的奥秘. 存档于原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)
Totton Heffelfinger (2013). "长除法技巧 - 中国算盘". 算盤 Abacus: 珠子的奥秘. 存档于原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)
Totton Heffelfinger (2013). "中国除法规则在算盘上". 算盤 Abacus: 珠子的奥秘. 存档于原始位置 2021 年 8 月 3 日. {{cite web}}: 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助)

下一页：传统除法指南 (帰除法) | 上一页：除法
首页：传统算盘和珠算/除法

下一页：学习除法表 | 上一页：现代和传统除法；近亲
首页：传统算盘和珠算/除法

[1] "割り算九九". 日语维基百科. {{cite web}}: 未知参数 |Language= 被忽略 (|language= 建议) (帮助); 未知参数 |accesdate= 被忽略 (|access-date= 建议) (帮助); 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)

[Kojima1-2] Kojima, Takashi (1954), The Japanese Abacus: its Use and Theory, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0278-9

[3] Xú Xīnlǔ (徐心魯) (1993) [1573]. Pánzhū Suànfǎ (盤珠算法) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)

[4] Yoshida, Mitsuyoshi (吉田光由) (1634). Jinkoki (塵劫記) (in Japanese). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)

[5] Shinoda, Shosaku (篠田正作) (1895). Jitsuyo Sanjutsu (実用算術) (in Japanese). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)

[6] Lisheng Feng (2020), "Traditional Chinese Calculation Method with Abacus", in Jueming Hua; Lisheng Feng (eds.), Thirty Great Inventions of China, Jointly published by Springer Publishing and Elephant Press Co., Ltd, ISBN 978-981-15-6525-0

[7] Zhū Shìjié 朱士傑 (1993) [1299]. Suànxué Qǐméng (算學啟蒙) (in Chinese). Zhōngguó kēxué jìshù diǎnjí tōng huì (中國科學技術典籍通彙). {{cite book}}: 未知参数 |trans_title= 被忽略 (|trans-title= 建议) (帮助)

[8] Kwa Tak Ming (1922), The Fundamental Operations in Bead Arithmetic, How to Use the Chinese Abacus (PDF), San Francisco: Service Supply Co.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

a

[7]

[8]