三角函数/正弦加法公式

正弦公式

正弦加法公式如下所示

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

这是一个重要的工具，它允许我们关联不同大小角度的正弦和余弦值。

在下一节中讨论了余弦的类似公式。

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

练习：$75^{\circ }$ 的正弦值 已知 $\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\sin(30^{\circ })=0.5$ $\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 使用正弦加法公式计算$\sin(75^{\circ })$ 答案：使用第一个公式 $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(30^{\circ })\cos(45^{\circ })$ $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot 0.5$ $\sin(75^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

练习：检查练习示例 使用计算器检查工作示例中的答案是否与正确值一致。

练习：$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和余弦 已知 $\sin(10^{\circ })\approx 0.1736$ 以及 $\cos(10^{\circ })\approx 0.9848$ 使用公式计算$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和余弦。 使用计算器直接计算正弦和余弦，检查您的答案是否与给定的值一致。

加法公式非常有用。

以下是对正弦加法公式的几何证明。该证明也展示了人们如何发现它。

证明

我们要证明

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

关于图形

首先，关于证明中使用的图形说几句话。您是如何想到这样一个图形的？

好吧，

• 我们需要一个包含直角三角形的图形，我们需要展示一个$(\alpha +\beta )$ 的角度，因此必须有 $\triangle ABC$ 。
• 我们想要用两个直角三角形的长度来表示该三角形的长度，其中一个角度为$\alpha$ ，另一个角度为$\beta$ ，因此添加像$E$ 和$F$ 这样的点至关重要。
• 完成了这些步骤后，我们就可以开始尝试解决问题，我们会发现自己在计算距离${\overline {BC}}$ 时遇到了问题。这就是我们为什么要将${\overline {BC}}$ 拆分为${\overline {BD}}$ 和${\overline {DC}}$ 的原因。我们可以计算距离${\overline {DC}}$ 。它与${\overline {EF}}$ 的长度相同。此外，我们可以使用 Soh-Cah-Toa 计算距离${\overline {BD}}$ 。

请注意，我们选择的图表本身并没有什么特别之处。例如，可以计算 $\sin(\alpha +\beta )$，其中直角三角形 $\triangle ABE$ 的直角在 $B$ 而不是 $E$。您可以尝试一下。

我们选择这个图表和字母的原因是，它与 **可汗学院** 关于证明正弦加法公式的视频中使用的图表和字母完全相同，因此如果您对这里提供的证明有困难，您可以在视频中进行学习。

视频链接

可汗学院上有一个证明视频，可能更容易理解。

• 证明：sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

证明

首先检查 $\angle DBE$ 是否真的与 $\angle FAE$ 相同。这对于证明很重要。我们只使用三角形内角和为 180° 的事实来进行检查，并注意到我们知道 90 度角。

现在给出 $\sin(\alpha +\beta )$ 的表达式。这里我们使用 SOH-CAH-TOA。我们将大量使用 SOH-CAH-TOA。

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BC}{AB}}$

观察图表，我们可以用 ${\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ 代替 ${\overline {BC}}$，我们还有 ${\overline {DC}}={\overline {EF}}$，所以

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD+DC}{AB}}={\frac {BD+EF}{AB}}={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}$

让我们用另一种方法表示 ${\overline {BD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。您需要观察图表以了解我们使用的是哪些三角形。

表示 ${\overline {BD}}$ 的表达式 ${\overline {BD}}={\overline {BE}}\cos(\alpha )$ 并且 ${\overline {BE}}={\overline {AB}}\sin(\beta )$ 所以 ${\overline {BD}}={\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )$

对于 $\displaystyle {\overline {EF}}$ 的表达式为 ${\overline {EF}}={\overline {AE}}\sin(\alpha )$ 并且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )$ 所以 ${\overline {EF}}={\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )$

综合起来

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}={\frac {{\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )}{\overline {AB}}}+{\frac {{\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )}{\overline {AB}}}$

${\overline {AB}}$ 被抵消了。

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

我们完成了!

练习

练习：将其中一边设为'1' 在绘制图形时，我们没有指定其大小。这意味着我们可以选择将其中一边设置为我们喜欢的任何长度。我们只需对一条边进行此操作即可。一旦我们完成了，所有其他边的长度就都确定了。将一个长度固定为一个方便的值可以缩短证明过程。 所以，让我们决定 $AB$ 为 1 公里。实际上，我们不会担心单位是公里、米还是厘米，只需写 '1' 即可。 $\triangle ABE$ 是一个直角三角形，并且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )=\cos(\beta )$ 您的任务是简化整个加法公式证明，方法是将诸如 ${\overline {AE}}$ 之类的长度替换为实际值，假设我们已设置 ${\overline {AB}}=1$ 。您实际上是从证明中删除了 ${\overline {AB}}$ 以及乘除以 ${\overline {AB}}$ 。证明应该变得更短、更清晰。您还应该在图上标记长度，假设 ${\overline {AB}}=1$ 。

练习：使用不同的图 再次阅读描述“关于图”中关于如何构建图的内容。创建您自己的图，该图与显示的图不同，直角位于显示的图中的不同位置，并使用该图进行证明。 提示：如果您发现自己添加了许多线和许多额外的点，那么您可能使证明比必要的复杂得多。您只需要添加足够的线来能够“追逐”长度从一个地方到另一个地方。一旦您获得了三个基本三角形，一条额外的线就足够了。