三角学/应用与模型

简谐运动

简谐运动 (SHM) 是可以由以下函数建模的物体的运动

x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)

或者

x=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)

其中 c₁ = A sin φ 且 c₂ = A cos φ。

在上述函数中，A 是运动的振幅，ω 是角速度，φ 是相位。

SHM 中物体的速度是

v=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)

加速度是

a=-A\omega ^{2}\sin \left(\omega t+\phi \right)=-\omega ^{2}x

谐波运动的另一种定义是

\displaystyle a=-\omega ^{2}x

一个应用是挂在弹簧上的重量的运动。弹簧的运动可以用胡克定律近似地建模

F = -kx

其中 F 是弹簧施加的力，x 是弹簧的伸长量（以米为单位），k 是一个常数，表征弹簧的“刚度”，因此被称为“刚度系数”。

从牛顿定律我们知道 F = ma，其中 m 是重量的质量，a 是它的加速度。将此代入胡克定律，我们得到

ma = -kx

两边同时除以 m

a=-{\frac {k}{m}}x

加速度的微积分定义给出

x''=-{\frac {k}{m}}x

x''+{\frac {k}{m}}x=0

因此我们得到一个二阶微分方程。求解它，我们得到

x=c_{1}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)

(2)

自变量 t 表示时间。

我们可以将这个方程转化为更简单的形式。设 c₁ 和 c₂ 是直角三角形的两条直角边，角 φ 与 c₂ 相邻，我们得到

\sin \phi ={\frac {c_{1}}{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}}

\cos \phi ={\frac {c_{2}}{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}}

以及

c_{1}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \phi

c_{2}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\cos \phi

代入 (2) 中，得到

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \phi \cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\cos \phi \sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)

使用三角恒等式，得到

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\left[\sin \left(\phi +{\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+\sin \left(\phi -{\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)\right]+{\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\left[\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\phi \right)+\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t-\phi \right)\right]

x={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\phi \right)

(3)

令 $A={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}$ 以及 $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ 。将此代入 (3) 中得到

x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)