三角学/余弦定理

余弦定理

勾股定理是更一般的定理的特例，该定理将任意三角形中边长的关系联系起来，即余弦定理：

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\theta )=c^{2}$

其中 $\theta$ 是边 $a$ 和 $b$ 之间的夹角。

公式是否有意义？

当 $\theta =90^{\circ }$ 时，此公式最好与勾股定理一致。

所以试试看...

当 $\theta =90^{\circ }$ 时，$\cos(\theta )=\cos(90^{\circ })=0$

$-2ab\cos(\theta )=0$，公式简化为通常的勾股定理。

排列组合

对于任何具有角 $A,B,C$ 和对应对边长 $a,b,c$ 的三角形，余弦定理指出

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos(A)$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos(B)$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos(C)$

证明

从顶点$C$ 作垂线$OC$ ，交$AB$（或$AB$ 的延长线）于$O$，将三角形分成两个直角三角形$AOC$ 和$BOC$，其中$h$ 是边$c$ 上的高。

首先，我们将根据已知量，利用三角形$BOC$，求出三角形$AOC$ 的另外两条边的长度。

$h=a\sin(B)$

边$c$ 被分成两段，总长度为$c$。

${\overline {OB}}$ 的长度为${\overline {BC}}\cos(B)=a\cos(B)$

${\overline {AO}}={\overline {AB}}-{\overline {OB}}$ 的长度为$c-a\cos(B)$

现在，我们可以使用勾股定理求出$b$，因为$b^{2}={\overline {AO}}^{2}+h^{2}$。

$b^{2}$	$={\bigl (}c-a\cos(B){\bigr )}^{2}+a^{2}\sin ^{2}(B)$
	$=c^{2}-2ac\cos(B)+a^{2}\cos ^{2}(B)+a^{2}\sin ^{2}(B)$
	$=a^{2}+c^{2}-2ac\cos(B)$

对应于$a$和$c$的表达式也可以用类似的方法证明。

该公式可以重新排列

$\cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

以及类似地对于$cos(A)$和$cos(B)$。

应用

如果已知三角形的两条边及其夹角，则可以使用此公式求出三角形的第三条边。重新排列后的公式可用于在已知三角形的三条边的情况下求出三角形的角度。参见给定SAS求解三角形。