三角学/已知两边和夹角 (SAS) 解三角形

已知两边和夹角 (SAS)

已知两边和这两边所夹的角，我们可以应用余弦定理来求解未知边。

详细说明 假设已知边为$b$ 和 $c$，夹角为 $\alpha$ 我们想要找到未知边 $a$ 我们知道 $b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )=a^{2}$ 我们有 $b,c$ 和 $\alpha$。因此我们可以计算出未知边 $a$ 为 $a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}}$ 不要被我们在这里使用的不同字母与余弦定理的原始陈述混淆！将余弦定理视为两边和夹角与剩余边之间的关系。我们有许多选择来标注边和角。

此时我们将知道一边和一个对角。这就是正弦定理发挥作用的地方。它指出在任何三角形中，一边的长度与其对角的正弦值的比率对所有三边都是相同的。因此，我们可以使用正弦定理求出已知边的对角的正弦值。然后，知道角的正弦值，我们就可以求出角本身。

详细说明 我们知道比率 ${\frac {\sin(\alpha )}{a}}$ 对于其他角和边都是相同的。所以特别地 $\sin(\gamma )={\frac {c}{a}}\sin(\alpha )$ 和 $\sin(\beta )={\frac {b}{a}}\sin(\alpha )$ 我们知道等式右边的值。我们可以由此计算出等式左边的值。取反正弦，我们就完成了。 不完全是。 我们需要检查角 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 之和是否为 180°。 你可能会很震惊地发现它们并不相加。会发生什么问题？请参阅下一个框。

反正弦的二义性 $\sin(80^{\circ })$ 等于多少？ $\sin(100^{\circ })$ 等于多少？ （预计您会使用计算器来进行这些计算）。 您看到问题了吗？ 反正弦函数在对钝角求反正弦时会“做出错误的选择”。因此，在解 ASA 三角形时，您需要确定是否有一个角是钝角。如果它的反正弦告诉您一个锐角，那么您可以将其修正为等效的钝角。 $\sin(70^{\circ })=\sin(110^{\circ })$ $\sin(60^{\circ })=\sin(120^{\circ })$ $\sin(20^{\circ })=\sin(160^{\circ })$ 具有相同正弦值的角之和为 180°，因此您可以通过从 180° 中减去得到的锐角来修正应该是钝角的角。或者，由于三角形中最多只有一个角是钝角，即最长边所对的角，可以计算另一个角。然后利用角之和为 180° 来得到剩余的那个角。

如前所述，面积可以通过海伦公式求得。