三角函数/已知ASA解三角形

三角函数最常见的应用之一是解三角形——根据三角形的一些信息找到缺失的边和/或角。也可能需要求三角形的面积。

我们可以根据以下信息重建三角形

• ASA 角-边-角（参见下图）。
• AAS 角-角-边（参见本页稍后内容）。
• SAS 边-角-边（参见下一页）。
• SSA 边-边-角（本书后面部分）。在SSA情况下，我们可能有一个、两个或没有可能的解。

已知ASA（一条边及其两端角）

• 已知两个角，我们可以求出第三个角（因为三角形三个角的度数之和为$180^{\circ }$）。

缺失的角，$\theta$ 由下式给出

$\theta =180^{\circ }-(\alpha +\beta )$

• 知道所有三个角和一条边，我们可以使用正弦定理来求出缺失的边。

在图中，如果我们给出的边是底边，长度为$c$，那么与角$\alpha$相对的边的长度为$a$，由下式给出

$a=c\cdot {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\theta )}}$

检查此结果 检查此结果是否遵循正弦定理。 现在也是一个好时机，检查一下你是否能够自己推导出正弦定理。如果考试中遇到类似这样的三角形问题，你可能会被要求同时求出缺失的边和推导出正弦定理。

• 然后可以通过海伦公式求出面积，或者更简单地通过正弦定理中给出的公式求出面积。

已知AAS（一条边及其他两个角）

同样，我们可以计算出缺失的角，因为它们的和为$180^{\circ }$。从那里开始，我们就有了与ASA情况第一步之后相同的信息。

练习

练习1：简单的角度I 三角形$\Delta ABC$具有 边${\overline {BC}}$长30米 $\angle ABC=30^{\circ }$ 和 $\angle BCA=45^{\circ }$ 画一个草图。 其余边的长度是多少，缺失的角是多少？

练习2：简单的角度II 三角形$\displaystyle \Delta ABC$具有 边${\overline {BC}}$长30米 ∠BCA = 30° 并且 ∠CAB = 45° 画一个草图。 其余边的长度是多少，缺失的角是多少？

练习 3：相似/全等？ 练习 1 和练习 2 中这两个三角形 是否彼此相似？ 是否彼此全等？