三角学/正弦的加法公式

正弦公式

正弦的加法公式如下：

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

这是一个重要的工具，它使我们能够将不同大小角度的正弦和余弦联系起来。

在下一节中讨论了与余弦相关的公式

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

例题：$75^{\circ }$的正弦 告诉你 $\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\cos(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\sin(30^{\circ })=0.5$ $\cos(30^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ 使用正弦加法公式计算 $\sin(75^{\circ })$ 答案：使用第一个公式 $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(30^{\circ })\cos(45^{\circ })$ $\sin(45^{\circ }+30^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot 0.5$ $\sin(75^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

练习：检查例题 使用计算器检查例题中的答案是否与正确值一致。

练习：$20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和余弦 告诉你 $\sin(10^{\circ })\approx 0.1736$ 并且 $\cos(10^{\circ })\approx 0.9848$ 使用公式计算 $20^{\circ },30^{\circ },40^{\circ }$ 的正弦和余弦。 检查你的答案是否与使用计算器直接计算得到的正弦和余弦值一致。

加法公式非常有用。

下面是正弦加法公式的几何证明。该证明还展示了人们是如何发现它的。

证明

我们需要证明

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

关于图表

首先，关于证明中使用的图表的说明。你如何想到这样一个图表呢？

好吧，

• 我们需要一个有直角三角形的图表，我们需要展示一个 $(\alpha +\beta )$ 的角度，所以必须有 $\triangle ABC$ 。
• 我们希望用两个直角三角形的边长来表示这个三角形的边长，一个角为 $\alpha$ ，另一个角为 $\beta$ ，所以添加像 $E$ 和 $F$ 这样的点是必不可少的。
• 做到这一步，我们就可以开始尝试解决问题了，我们会发现，在计算距离${\overline {BC}}$ 时遇到了问题。这就是我们把${\overline {BC}}$ 分成${\overline {BD}}$ 和${\overline {DC}}$ 的原因。我们可以计算${\overline {DC}}$ 的距离。它与${\overline {EF}}$ 长度相同。此外，${\overline {BD}}$ 的长度可以用Soh-Cah-Toa 计算。

请注意，我们选择的图并没有什么特别之处。例如，我们可以使用直角三角形$\triangle ABE$ 的直角在$B$ 而不是在$E$ 的图来计算$\sin(\alpha +\beta )$ 。你可以尝试一下。

我们选择这个图和这些字母是因为它与**可汗学院**关于证明正弦加法公式的视频中使用的完全相同，所以如果你对这里提供的证明有困难，你可以观看视频来学习。

视频链接

可汗学院有一个关于证明的视频，可能更容易理解。

• 证明：sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

证明

首先检查$\angle DBE$ 是否真的与$\angle FAE$ 相同。这对证明很重要。我们只是利用三角形内角和为 180° 的事实来进行检查，并注意到我们知道 90 度角。

现在得到$\sin(\alpha +\beta )$ 的表达式。这里我们使用 Soh-Cah-Toa。我们会多次使用 Soh-Cah-Toa。

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BC}{AB}}$

观察图示，我们可以用 ${\overline {BD}}+{\overline {DC}}$ 来替换 ${\overline {BC}}$，我们也有 ${\overline {DC}}={\overline {EF}}$，因此

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD+DC}{AB}}={\frac {BD+EF}{AB}}={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}$

让我们尝试用另一种方式来表达 ${\overline {BD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。你需要观察图示，找出我们所使用的三角形。

关于 ${\overline {BD}}$ 的表达式 ${\overline {BD}}={\overline {BE}}\cos(\alpha )$ 以及 ${\overline {BE}}={\overline {AB}}\sin(\beta )$ 所以 ${\overline {BD}}={\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )$

关于 $\displaystyle {\overline {EF}}$ 的表达式 ${\overline {EF}}={\overline {AE}}\sin(\alpha )$ 以及 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )$ 所以 ${\overline {EF}}={\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )$

综合以上结论

$\sin(\alpha +\beta )={\frac {BD}{AB}}+{\frac {EF}{AB}}={\frac {{\overline {AB}}\sin(\beta )\cos(\alpha )}{\overline {AB}}}+{\frac {{\overline {AB}}\sin(\alpha )\cos(\beta )}{\overline {AB}}}$

The ${\overline {AB}}$'s cancel.

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

我们完成了！

练习

练习：让其中一边为“一” 当我们画图时，并没有说明它的尺寸。这意味着我们仍然可以选择让其中一边为我们喜欢的任何长度。我们可以只对一条边这样做。一旦我们完成了，所有其他边的长度就确定了。将一个长度固定为一个很好的值可以缩短证明。 所以，让我们决定$AB$为 1 公里。实际上，我们不关心单位是公里、米还是厘米，就写“1”。 $\triangle ABE$是一个直角三角形，并且 ${\overline {AE}}={\overline {AB}}\cos(\beta )=\cos(\beta )$ 你的任务是通过用实际值替换${\overline {AE}}$之类的长度，来简化加法公式的整个证明，假设我们设置了${\overline {AB}}=1$。你实际上是在从证明中删除${\overline {AB}}$以及乘法和除法${\overline {AB}}$。它应该变得更短更清晰。你应该也在图上标记长度，假设${\overline {AB}}=1$。

练习：使用不同的图 再次阅读关于如何构造图的描述“关于图”。制作一个与所显示图不同的图，将直角放在与所显示图不同的位置，并使用它来完成证明。 提示：如果你发现自己添加了大量的线条和额外的点，那么你可能正在使证明比必要的复杂得多。你只需要添加足够的线，以便能够“追逐”长度从一个地方到另一个地方。一旦你有了三个基本三角形，一条额外的线就足够了。