三角学/为爱好者/较少使用的三角恒等式

三角恒等式

除了正弦定理、余弦定理和正切定理之外，还有许多其他恒等式适用于任何三角形的三个角 A、B 和 C（其中 A+B+C=180° 且 A、B 和 C 每个都大于零）。以下是一些最值得注意的恒等式：

$\cos ^{2}(A)+\cos ^{2}(B)+\cos ^{2}(C)+2\cos(A)\cos(B)\cos(C)=1$

$\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)=4\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\cos \left({\frac {C}{2}}\right)$

$\tan(A)+\tan(B)+\tan(C)=\tan(A)\tan(B)\tan(C)$

$\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)+\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)+\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\tan \left({\frac {A}{2}}\right)=1$

$\cot(A)\cot(B)+\cot(B)\cot(C)+\cot(C)\cot(A)=1$

$\cot \left({\frac {A}{2}}\right)\cot \left({\frac {B}{2}}\right)\cot \left({\frac {C}{2}}\right)=\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)$

$\sin(A)\sin(B)\sin(C)={\frac {1}{{\bigl (}\cot(A)+\cot(B){\bigr )}{\bigl (}\cot(B)+\cot(C){\bigr )}{\bigl (}\cot(C)+\cot(A){\bigr )}}}$

${\frac {\sin(A)+\sin(B)-\sin(C)}{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}}=\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)$

勾股定理

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

$1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)$

$1+\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)$

所有这些都是勾股定理的直接推论。

角的和/差

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \sin(y)\cos(x)$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

积化和差

$2\sin(x)\sin(y)=\cos(x-y)-\cos(x+y)$

$2\cos(x)\cos(y)=\cos(x-y)+\cos(x+y)$

$2\sin(x)\cos(y)=\sin(x-y)+\sin(x+y)$

和差化积

$A\sin(x)+B\cos(x)=C\sin(x+y)$，其中$C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ 以及 $y=\pm \arctan {\bigl (}{\tfrac {B}{A}}{\bigr )}$

$\sin(A)\pm \sin(B)=2\sin \left({\frac {A\pm B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A\mp B}{2}}\right)$

$\cos(A)+\cos(B)=2\cos \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cos(A)-\cos(B)=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

倍角公式

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)$

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

$\cot(2x)={\frac {\cot(x)-\tan(x)}{2}}$

$\csc(2x)={\frac {\cot(x)+\tan(x)}{2}}$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

$\sin(3x)=-4\sin ^{3}(x)+3\sin(x)$

$\tan(3x)={\frac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}$

$\cos(4x)=8\cos ^{4}(x)-8\cos ^{2}(x)+1$

$\sin ^{2}(4x)=16{\Big [}\sin ^{2}(x)-5\sin ^{4}(x)+8\sin ^{6}(x)-4\sin ^{8}(x){\Big ]}$