波/各向异性介质

波 : 几何光学
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问题

各向异性介质

请注意，斯涅尔定律隐含地假设光线沿光波矢的方向运动，即垂直于波前。正如上一章的分析表明，这只在光学介质各向同性时成立，即波频率仅取决于波矢的大小，而不取决于其方向。

某些类型的晶体，例如由方解石制成的晶体，不是各向同性的——光在这些晶体中的速度，因此波频率，取决于波矢的方向。例如，各向异性介质中的角频率可能采用以下形式

$\omega =\left[{\frac {c_{1}^{2}(k_{x}+k_{y})^{2}}{2}}+{\frac {c_{2}^{2}(k_{x}-k_{y})^{2}}{2}}\right]^{1/2},$ (4.4)

其中 $c_{1}$ 是当 $k_{y}=k_{x}$ 时波的光速，而 $c_{2}$ 是当 $k_{y}=-k_{x}$ 时的光速。

图 3.3: 右图显示了一束光线垂直入射到一块切割得当的方解石晶体表面的情况。产生这种行为的各向异性色散关系显示在左图中。

图 3.3 显示了一个例子，其中一束光线照射到一块方解石晶体上，该晶体以这样一种方式定向，使得恒定频率等高线如公式 (3.4) 所指定。波矢垂直于晶体表面，因此波前平行于该表面。进入晶体后，为了保持表面相位连续性，波前方向必须保持不变。然而，由于晶体中光色散关系的各向异性，光线方向会发生改变，如右图所示。这种行为明显不符合斯涅尔定律的通常版本！

可以将斯涅尔定律扩展到各向异性情况。我们不会在这里推导出这些方程，但它们是

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial \omega }{\partial k_{i}}}\quad {\frac {dk_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}}$

稍后我们将看到这些几何光学方程与经典力学方程之间存在着令人联想到的相似之处。

不过，现在，我们将假设使用各向同性的光学介质，并讨论光学仪器。

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