波/反射和折射

波 : 几何光学
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问题

反射和折射

关于几何光学，我们需要知道的大部分内容都可以归纳为两条规则，即反射定律和折射定律。这两条规则都可以通过考虑平面波段入射到平面上时会发生什么来推断。如果表面是抛光的金属，波会被 *反射*，而如果表面是两种具有不同折射率的透明介质之间的界面，波会被部分反射和部分 *折射*。反射是指波被折回它来自的半空间，而折射是指波穿过界面，从到达界面之前的运动方向改变到另一个方向。

**图 3.1**：展示平面镜反射波的示意图。反射定律指出 $\theta _{I}=\theta _{R}$.

图 3.1 展示了波从平面镜反射时的波向量和波前。入射角 $\theta _{I}$ 和反射角 $\theta _{R}$ 定义为分别入射和反射波向量与镜面法线的夹角。反射定律指出 $\theta _{R}=\theta _{I}$。这是由于入射波前和反射波前需要在镜面表面上始终保持同相。这加上入射波长和反射波长相等，足以确保上述结果。

**图 3.2**：展示波从两种介电介质之间的界面折射的示意图，其中 $n_{2}>n_{1}$.

折射，如 图 3.2 所示，稍微复杂一些。由于 $n_{R}>n_{I}$，右侧介质中的光速小于左侧介质中的光速。（回想一下，折射率为 $n$ 的介质中的光速为 $c_{medium}=c_{vac}/n$。）波包的频率在穿过界面时不会发生改变，因此右侧的光的波长小于左侧的波长。

让我们检查 图 3.2 中的三角形 ABC。边 AC 等于边 BC 乘以 $\sin(\theta _{I})$。然而，AC 也等于 $2\lambda _{I}$，即界面左侧波长的两倍。类似的推理表明，$2\lambda _{R}$，即界面右侧波长的两倍，等于 BC 乘以 $\sin(\theta _{R})$。由于区间 BC 对两个三角形都是共有的，我们很容易看到

${\frac {\lambda _{I}}{\lambda _{R}}}={\frac {\sin(\theta _{I})}{\sin(\theta _{R})}}.$ (4.1)

由于 $\lambda _{I}=c_{I}T=c_{vac}T/n_{I}$ 以及 $\lambda _{R}=c_{R}T=c_{vac}T/n_{R}$，其中 $c_{I}$ 和 $c_{R}$ 分别是界面左侧和右侧的波速，$c_{vac}$ 是真空中的光速，$T$ 是（共同的）周期，我们可以很容易地将上面的方程改写成以下形式

$n_{I}\sin(\theta _{I})=n_{R}\sin(\theta _{R}).$ (4.2)

这就是所谓的 *斯涅尔定律*，它控制着光线在折射率不连续处通过时的弯曲方式。角度 $\theta _{I}$ 称为入射角，$\theta _{R}$ 称为折射角。请注意，这些角度是从法线到表面测量的，而不是从切线测量的。

反射定律的推导

使用费马原理推导反射定律很简单。反射定律可以使用基本的微积分和三角学推导出来。反射定律的推广是斯涅尔定律，它使用相同的原理推导出来。

光线传播的介质不会改变。为了使光线在两点之间的传播时间最小化，我们应该使光线经过的路径最小化。

θ_i = θ_r。
入射角等于反射角

1. 光线的总路径长度由下式给出

$L=d_{1}+d_{2}\,$

2. 使用欧几里得几何中的勾股定理，我们可以看到

$d_{1}={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,$ 以及 $d_{2}={\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}\,$

3. 当我们将 d₁ 和 d₂ 的两个值代入上述公式时，我们得到

$L={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}$

4. 为了使光线传播的路径最小化，我们对 L 关于 x 求一阶导数。

${\frac {dL}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}+{\frac {-(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=0$

5. 将两边设为相等。

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}={\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}$

6. 我们可以看到左侧只是 $\sin \theta _{i}$，而右侧是 $\sin \theta _{r}$，这意味着

$\sin \theta _{i}=\sin \theta _{r}\!\$

7. 对两边取反正弦，我们发现入射角等于反射角。

$\theta _{i}=\theta _{r}\!\$

斯涅尔定律的推导

使用费马原理推导斯涅尔定律是直接的。斯涅尔定律可以使用基本 微积分 和 三角学 推导出来。斯涅尔定律是对上述情况的推广，它不要求介质在各处都相同。

为了标记光在不同介质中的速度，使用折射率 n₁ 和 n₂。

$v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}\!\$

$v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$

斯涅尔定律将 n₁、θ₁ 和 n₂、θ₂ 联系起来。

这里 $c$ 是真空中的光速，$n_{1},n_{2}\geq 1\,$，因为所有材料都会减慢光线穿过它们时的速度。

1. 旅行时间等于行程距离除以速度。

$t={\frac {d_{1}}{v_{1}}}+{\frac {d_{2}}{v_{2}}}$

2. 使用欧几里得几何中的勾股定理，我们可以看到

${\frac {d_{1}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}\,$ 和 ${\frac {d_{2}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}\,$

3. 将此结果代入等式 (1) 中，我们得到

$t={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$

4. 对该公式进行求导，并将导数设置为零，得到

${\frac {dt}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$

5. 仔细观察上面的公式，我们可以发现它实际上是

${\frac {dt}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

6. 因此

${\frac {v_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{\sin \theta _{2}}}$

7. 在等式两边乘以 $\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}$，得到

$v_{1}\sin \theta _{2}=v_{2}\sin \theta _{1}\!\$

8. 将 ${\frac {c}{n_{1}}}$ 替换为 v₁，将 ${\frac {c}{n_{2}}}$ 替换为 $v_{2}$，得到

${\frac {c}{n_{1}}}\sin \theta _{2}={\frac {c}{n_{2}}}\sin \theta _{1}$

9. 简化等式两边，得到最终结果

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\!\$

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