波/光学仪器

波 : 几何光学
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问题

薄透镜公式和光学仪器

根据反射和折射定律，原则上可以追踪光线通过光学仪器的路径。对于许多初始光线，可以计算出光线在每个反射镜面或折射率界面的方向变化。在这些点之间，光线描绘出一条直线。

虽然概念上很简单，但该过程在实践中可能非常复杂。然而，如果许多近似值（统称为 *薄透镜近似值*）成立，该过程将简化。我们从计算光线通过棱镜时的弯曲开始，如图 3.4 所示。

找到所需的信息 $\theta$，即光线偏转的角度，如下所示：由光线入射点和出射点以及棱镜顶点定义的三角形的几何形状得出

$\alpha +(\pi /2-\theta _{2})+(\pi /2-\theta _{3})=\pi ,$ (4.5)

简化为

图 3.4：光线通过棱镜时的弯曲。

$\alpha =\theta _{2}+\theta _{3}.$ (4.6)

光线入射点和出射点的斯涅尔定律告诉我们

$n={\frac {\sin(\theta _{1})}{\sin(\theta _{2})}}\qquad n={\frac {\sin(\theta _{4})}{\sin(\theta _{3})}},$ (4.7)

其中 $n$ 是棱镜的折射率。（周围环境的折射率假定为 1。）也可以推断

$\theta =\theta _{1}+\theta _{4}-\alpha .$ (4.8)

这来自于图 3.4 中阴影四面体内部角之和为 $(\pi /2-\theta _{1})+\alpha +(\pi /2-\theta _{4})+(\pi +\theta )=2\pi$.

组合方程 (3.6)、(3.7) 和 (3.8) 允许用 $\theta _{1}$ 和 $\alpha$ 来确定光线偏转 $\theta$，但结果表达式非常混乱。但是，如果满足以下条件，则会得到很大的简化

• 角度 $\alpha \ll 1$.
• 角度 $\theta _{1}\ll 1$ 和 $\theta _{4}\ll 1$.

在这些近似值下，很容易证明

$\theta =\alpha (n-1)\quad {\text{(小角度)}}.$ (4.9)

图 3.5: 光线通过透镜发生 $\theta$ 角偏转。角度 $\alpha$ 是光线在透镜的入射点和出射点的切线之间的夹角。

一般来说，光学仪器中的透镜和镜子表面是弯曲的，而不是平面的。但是，只要波包入射的表面段在波包尺寸尺度上没有太大的弯曲，我们仍然可以使用平面表面的反射和折射定律。对于入射到普通光学仪器上的光来说，这个条件很容易满足。在这种情况下，如果 $\alpha$ 定义为光线入射点和出射点的切线的交点，如图 3.5 所示，则光线的偏转由式 (3.9) 给出。

凸透镜 的中心比边缘厚。在距离中心轴 $r$ 处的两个透镜表面的切线之间的夹角 $\alpha$ 的形式为 $\alpha =Cr$，其中 $C$ 是一个常数。因此，距离中心 $r$ 处射入透镜的光束的偏转角为 $\theta =Cr(n-1)$，如图 3.5 所示。角度 $o$ 和 $i$ 之和等于偏转角：$o+i=\theta =Cr(n-1)$。然而，在小角度近似成立的情况下，$o=r/d_{o}$ 且 $i=r/d_{i}$，其中 $d_{o}$ 是到物体的距离，$d_{i}$ 是到物体像的距离。将这些方程组合在一起并消去 $r$ 得到薄透镜公式

${\frac {1}{d_{o}}}+{\frac {1}{d_{i}}}=C(n-1)\equiv {\frac {1}{f}}.$ (4.10)

量 $f$ 被称为透镜的焦距。请注意 $f=d_{i}$ 如果物体距离透镜很远，即如果 $d_{o}$ 非常大。

图 3.6：一个正透镜在左边箭头右边产生一个像。

图 3.6 显示了正透镜如何成像。像是由来自物体上每个点的所有光线落在像的对应点上形成的。如果左边箭头是一个被照亮物体，一个像箭头将在右边出现，如果来自透镜的光线被允许落在一张纸或一个毛玻璃屏上。物体的大小 $S_{o}$ 和像的大小 $S_{i}$ 是通过物体和像到透镜的距离的简单几何关系联系起来的

${\frac {S_{i}}{S_{o}}}={\frac {d_{i}}{d_{o}}}.$ (4.11)

请注意，正透镜会使像反转。

图 3.7：正透镜产生虚像。

只有当 $d_{o}>f$ 时，在透镜的右边才会产生一个像。如果 $d_{o}<f$，透镜无法将来自像的光线汇聚到一点，如图 3.7 所示。然而，在这种情况下，光线的向后延伸会汇聚到一个点，称为虚像，在正透镜的情况下，它总是比物体离透镜更远。如果将像到透镜的距离视为负数，薄透镜公式仍然适用。像被称为虚像，因为它不会出现在放置在这个点的毛玻璃屏上。与图 3.6 中看到的实像不同，虚像不会反转。

图 3.8：负透镜产生虚像。

负透镜的中心比边缘薄，只产生虚像。如图 3.8 所示，负透镜产生的虚像比物体更靠近透镜。同样，薄透镜公式仍然有效，但像到透镜的距离和焦距都必须取负数。只有物体到透镜的距离保持为正数。

图 3.9：凹面镜产生实像。

弯曲的镜子也能以类似于透镜的方式产生图像，如图 3.9 所示。凹面镜，如图所示，与正透镜类似，根据物体距离镜子更远或更靠近镜子焦距，产生实像或虚像。凸面镜就像负透镜一样，总是产生虚像。薄透镜公式在两种情况下都适用，只要角度较小。

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