A-level 数学/OCR/C2/数列与级数

定义

数列 只是一个按特定顺序排列的数字列表。我们称这些数字为数列的项。例如，2、4、6、8 是正偶数数列的前四项。当我们对数列的项求和时，我们得到一个级数。例如，2+4+6+8+... 是一个级数。

我们用 $T_{n}$ 来表示数列中的项，其中 $n$ 是所讨论项的序号。例如，在上面描述的数列中，我们有 $T_{1}=2$，$T_{2}=4$，$T_{3}=6$，等等。

定义 是一条规则，告诉我们如何计算数列中的每一项。例如，上面数列的规则是 $T_{n}=2n$。关系 描述了每一项与其他项之间的关系。例如，上面数列的关系是 $T_{n+1}=T_{n}+2$。

西格玛 ($\Sigma$) 符号

正如你可能已经猜到的那样，用一些项来描述一个级数并不总是好主意——如果使用的项太少，级数对你来说可能很模糊；另一方面，如果你写出太多项，你可能会冒犯你的读者！为了简洁地表达一个级数，我们使用西格玛 $(\Sigma )$ 符号。

一般来说，一个级数可以写成$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)$，表示“从$f(k_{0})$ 开始到$f(N)$ 的所有项之和”。因此，

$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)=f(k_{0})+f(k_{0}+1)+f(k_{0}+2)+\cdots +f(N)$.

例如，级数 2+4+6+8+... 可以写成 $\sum _{k=1}^{\infty }2k$.

识别简单的级数

级数只是序列的另一个词。在本模块中，您应该熟悉两种非常常见的级数类型——等差级数和等比级数。

简而言之，等差级数或AP是一个序列，其中每个连续项都是前一项与一个固定值的和。例如，AP 1,4,7,10,..., 其中连续项之间的差为 3。

等比级数或GP是一个序列，其中每个连续项都是前一项与一个固定值的积。例如，GP 2,4,8,16,32,..., 其中每一项都是前一项的两倍。

等差级数 (AP)

等差级数 (AP) 是一个可以这样写的序列：$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ldots$，其中 $a,d$ 是常数。AP 中的第一个项 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，后续项之间的公差用 $d$ 表示。因此，级数 1,4,7,10,..., 是一个等差级数，其中 $a=1$ 且 $d=3$.

规则

公差 $d$ 可以通过 $d=T_{n}-T_{n-1}$ 计算，其中 $n=2,3,4,...$.

第 $n$ 项由 $T_{n}=a+(n-1)d$ 给出。

AP 的前 $n$ 项的总和（首项为 $T_{1}$，末项为 $T_{n}$）由 $S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$ 给出。

事实上，更一般地说，AP 中 $n$ 个连续项的总和由 ${\frac {\mathrm {number\,of\,terms} }{2}}(\mathrm {first\,term} +\mathrm {last\,term} )$ 给出。

示例

偶数 2、4、6、8、...、100 的总和是多少？

给定的序列可以表示为一个 AP，其中 $T_{1}=a=2$，$d=2$。我们想要这个 AP 的前 50 项的总和

$S_{50}={\frac {50}{2}}(2+100)={\frac {50}{2}}\left(2(2)+(50-1)2\right)=2550$.

等比数列 (GP)

等比数列 (GP) 是一个可以按以下方式写出的数列：$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots$，其中 $a,r$ 是常数。GP 中的第一个项 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，相邻项之间的公比用 $r$ 表示。

规则

公比 $r$ 可以通过 $r={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$ 计算，其中 $n=2,3,4,...$.

第 $n$ 项由 $T_{n}=ar^{n-1}$ 给出。

GP 前 $n$ 项的和由 $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 给出。

证明如下

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}$

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

无穷等比数列的和

我们说等比级数 $\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots$ 是收敛的，如果无穷和 $S_{\infty }$ 趋于某个极限。这发生在 $|r|<1$ 时。因此，如果 $|r|<1$，那么

$S_{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$.

证明如下

$S_{\infty }=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$

$rS_{\infty }=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$

$S_{\infty }-rS_{\infty }=a$

$S_{\infty }(1-r)=a$

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

二项式表达式

二项式是具有两个部分的多项式，形式为 $(a+b)$，例如 $(x+1)$。当二项式被提升到幂时，您可以通过多次将括号相乘来简化它。展开的多项式称为二项式展开式，所有二项式展开式都遵循一个模式，该模式可用于比展开多个括号更快地展开二项式。目前，我们只关注被提升到正整数的二项式表达式。

展开 $(x+1)$

以下是 $x+1$ 提升到不同幂的展开式。

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

如果你仔细观察每一项的系数，你可能会注意到一个规律。这些数字被称为 **二项式系数**，可以通过将它上面的两个数字相加得到。

帕斯卡三角形

二项式系数更常被称为 **帕斯卡三角形**，以 布莱斯·帕斯卡 的名字命名。

以下列出 帕斯卡三角形 的前 10 行

                                       (1)
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

由于每个数字都是由它上面两个数字相加得到的，因此可以找到三角形的几行来帮助你展开二项式。对于幂次大于 10 的二项式，你应该使用二项式系数公式。

二项式系数公式

当二项式被提升到一个较大的幂次时，通过写出帕斯卡三角形来找到二项式系数可能太耗时了。幸运的是，有一个公式可以找到帕斯卡三角形的任意一行。

如果 $n$ 是展开式的幂次，并且 $r$ 是单行中项的编号，则二项式系数公式为

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

符号 $!$ 表示 **阶乘**，它将 $n$ 乘以小于它的每一个整数，一直乘到 1。

因此 $3!=3\times 2\times 1=6$.

要查找二项式系数，可以使用公式，其中包含所需的值 $n$ 以及 $r=0$，$r=1$，$r=2$ 等，直到 $r=n$。

大多数科学计算器会有两个按钮在这一过程中非常有用，一个是阶乘按钮，通常标为 n!，另一个实际上会找到 ${n \choose r}$ 并且通常标为 nCr 或 $C_{r}^{n}$。（C 代表“选择”或“组合”，这基于公式在概率中的使用。）

您应该知道帕斯卡三角形是对称的，因此一旦系数重复，您就可以轻松地写下其余的系数。

扩展二项式

现在您已经知道如何在二项式展开中找到系数，您可以通过遵循以下简单步骤轻松展开任何提高到正整数的二项式。

对于形式为 $(a+b)^{n}$ 的二项式，

1. 写下 $a$ 的降幂，从 $n$ 到 $0$
2. 写下 $b$ 的升幂，从 $0$ 到 $n$，确保您放置的项使幂加起来为 $n$
3. 将二项式系数加到每个项，可以从帕斯卡三角形中的第 $n$ 行（忽略顶部的 1），或者使用二项式系数公式。

然后您在必要时进行简化。

例如，对于 $(x+2)^{4}$ 的扩展

$x$ 按降序排列：$x^{4}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{1}$ $+$ $x^{0}$

$2$ 按升序排列：$2^{0}$ $+$ $2^{1}$ $+$ $2^{2}$ $+$ $2^{3}$ $+$ $2^{4}$

将所有项组合在一起，我们得到

$x^{4}$$2^{0}$ $+$ $x^{3}$$2^{1}$ $+$ $x^{2}$$2^{2}$ $+$ $x^{1}$$2^{3}$ $+$ $x^{0}$$2^{4}$

添加二项式系数

$1x^{4}$$2^{0}$ $+$ $4x^{3}$$2^{1}$ $+$ $6x^{2}$$2^{2}$ $+$ $4x^{1}$$2^{3}$ $+$ $1x^{0}$$2^{4}$

最后简化将得到

$x^{4}$ $+$ $8x^{3}$ $+$ $24x^{2}$ $+$ $32x^{1}$ $+$ $16 $

这个过程总结在称为二项式定理的方程中

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

如果您不熟悉西格玛符号，那么它表示

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

可以进行一些简化，但不需要刻意记忆，因为你会在使用过程中自然而然地理解它们：$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

这是C2（核心数学2）模块中A-level数学文本的一部分。

多项式除法和因式分解 / 数列与级数 / 对数和指数 / 圆和角 / 积分

附录 A：公式