A-level 数学/OCR/C2/对数和指数

指数函数的运算

指数函数是指以常数为底 (b) 并以变量为指数的函数。

乘法

首先， $b^{x}\times b^{2x}$ 等于 $b^{\left(x+2x\right)}\,$ ，即 $b^{3x}\,$ 。因此，当您将一个底数乘以同一个底数时，您将指数相加。为了说明这一点，以下是一个用数字表示的示例：

$x\,$	$2^{x}\,$	$2^{2x}\,$	$2^{x}\times 2^{2x}\,$	$2^{3x}\,$
1	2	4	8	8
2	4	16	64	64

除法

其次， ${\frac {b^{2x}}{b^{y}}}$ 等于 $b^{\left(2x-y\right)}\,$ 。因此，当一个底数被同一个底数除时，您将指数相减。

以下是一个用数字表示的示例： ${\frac {2^{4}}{2^{2}}}={\frac {16}{4}}=4=2^{2}$ .

底数的平方

第三， $\left(b^{2x}\right)^{3x}$ 等于 $b^{\left(2x\right)\times \left(3x\right)}$ ，即 $b^{6x^{2}}$ 。所以当一个底数带有变量并被另一个变量次方时，你需要将这两个变量相乘。下面是另一个用数字的例子：（当 x = 1 时） $\left(2^{2}\right)^{3}=4^{3}=64=2^{6}$ 。

多个底数

第四，当 $a^{2}\times b^{2}=ab\times ab$ 时，它等同于 $\left(ab\right)^{2}\,$ 。下面是一个用数字的例子： $2^{2}\times 3^{2}=36=6^{2}$ 。除法也类似： $\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}\times {\frac {a}{b}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 。所以当您将两个不同的底数乘除并都用同一个变量次方时，您可以先将它们乘除，然后再用该变量次方。

分数指数

最后一种情况是 x 以分数形式出现时，您可以创建一个平方根函数，例如 $b^{\frac {1}{x}}$ 变为 $\pm {\sqrt[{x}]{b}}$ 。但是，通常只使用正根，所以 $b^{\frac {1}{x}}$ 被定义为 ${\sqrt[{x}]{b}}$ 。另一个类似的情况是当分数的分子中包含一个常数（表示为 c）而不是 1 时，例如 $b^{\frac {3}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{3}$ ，所以 $b^{\frac {c}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{c}$ 。

指数法则

上面提到的规则被称为指数法则，可以写成

$b^{x}b^{y}=b^{x+y}\,$
${\frac {b^{x}}{b^{y}}}=b^{x-y}$
$\left(b^{x}\right)^{y}=b^{xy}$
$a^{n}b^{n}=\left(ab\right)^{n}\,$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$
$b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$
$b^{\frac {c}{x}}=\left({\sqrt[{x}]{b}}\right)^{c}$ 其中c为常数
$b^{1}=b\,$
$b^{0}=1\,$

指数方程的求解

为了解指数方程，需要确保所有底数相同。然后可以移除底数，解出变量。以下是一个例子

求解x。 $2^{\left(x-1\right)}=16\,$

现在我们将16转换为以2为底的指数形式。

$2^{\left(x-1\right)}=2^{4}\,$

现在我们可以移除底数。因此我们得到

$x-1=4\,$

最后解出x。

$x=5\,$

指数函数的图像

绘制指数函数的图像时，可以使用与绘制普通函数相同的方法。下面有一个图表供您参考。

对数函数

在数学中，你可以通过交换 x 和 y 来找到指数函数的逆函数： $y=b^{x}\,$ 变为 $x=b^{y}\,$ 。问题在于如何找到 y 的值。对数函数解决了这个问题。所有将对数函数转换为指数函数的转换都遵循相同的模式： $x=b^{y}\,$ 变为 $y=\log _{b}x\,$ 。如果给定的对数没有写 b，则 b=10。此外，对于对数函数，b > 0 且 $b\neq 1$ 。对数等于 x 有两种情况： $\log _{b}b^{X}=X\,$ 和 $b^{\log _{b}X}=X\,$ 。