A-level 数学/OCR/C2/数列与级数

定义

数列只是一组按照特定顺序排列的数字。我们称这些数字为数列的项。例如，2,4,6,8 是正偶数数列的前四项。当我们对数列中的项求和时，我们得到一个级数。例如，2+4+6+8+... 是一个级数。

我们用 $T_{n}$ 表示数列中的项，其中 $n$ 是所讨论的项的序号。例如，在上面描述的数列中，我们有 $T_{1}=2$，$T_{2}=4$，$T_{3}=6$，等等。

定义是告诉我们如何计算数列中每一项的规则。例如，上面数列的规则是 $T_{n}=2n$。关系描述了每一项与其他项之间的关系。例如，上面数列的一个关系是 $T_{n+1}=T_{n}+2$.

Sigma ($\Sigma$) 符号

正如你可能已经猜到，用一些项来描述一个级数并不总是好的选择——如果使用的项太少，级数对你的读者来说可能很模棱两可；另一方面，你可能会因为写出太多项而冒犯你的读者！为了简洁地表达一个级数，我们使用Sigma $(\Sigma )$ 符号。

一般来说，一个级数可以写成$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)$，表示“从$f(k_{0})$开始到包括$f(N)$的所有项的和”。因此，

$\sum _{k=k_{0}}^{N}f(k)=f(k_{0})+f(k_{0}+1)+f(k_{0}+2)+\cdots +f(N)$.

例如，级数 2+4+6+8+... 可以写成$\sum _{k=1}^{\infty }2k$.

识别简单级数

级数只是序列的另一个词。在本模块中，您应该熟悉两种非常常见的级数类型——等差级数和等比级数。

简而言之，等差级数或AP是指一个序列，其中每个后续项都是前一项与一个固定值的和。等差级数的一个例子是 1,4,7,10,..., 其中后续项之间的差为 3。

等比级数或GP是指一个序列，其中每个后续项都是前一项与一个固定值的积。等比级数的一个例子是 2,4,8,16,32,..., 其中每个项都是前一项的两倍。

等差级数 (AP)

等差级数 (AP) 可以用以下方式表示：$a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ldots$，其中 $a,d$ 是常数。AP 中的第一项 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，后续项之间的公差用 $d$ 表示。因此，级数 1,4,7,10,..., 是一个等差级数，其中 $a=1$ 且 $d=3$.

规则

公差 $d$ 可以通过 $d=T_{n}-T_{n-1}$ 计算，其中 $n=2,3,4,...$。

第 $n$ 项由 $T_{n}=a+(n-1)d$ 给出。

等差数列 (首项为 $T_{1}$，末项为 $T_{n}$) 前 $n$ 项的和由 $S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$ 给出。

事实上，更一般地，等差数列中连续 $n$ 项的和由 ${\frac {\mathrm {number\,of\,terms} }{2}}(\mathrm {first\,term} +\mathrm {last\,term} )$ 给出。

示例

偶数 2, 4, 6, 8, ..., 100 的和是多少？

给定的序列可以表示为一个等差数列，其中 $T_{1}=a=2$，以及 $d=2$。我们想要这个等差数列前 50 项的和。

$S_{50}={\frac {50}{2}}(2+100)={\frac {50}{2}}\left(2(2)+(50-1)2\right)=2550$.

等比数列 (GP)

等比数列 (GP) 是一个可以写成以下形式的序列：$a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},\ldots$，其中 $a,r$ 是常数。等比数列的第一个项 $T_{1}$ 用 $a$ 表示，相邻项之间的**公比**用 $r$ 表示。

规则

公比 $r$ 可以通过 $r={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$ 计算，其中 $n=2,3,4,...$。

第 $n$ 项由 $T_{n}=ar^{n-1}$ 给出。

等比数列前 $n$ 项的和由 $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ 给出。

证明如下：

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\ldots +ar^{n-1}$

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+\ldots +ar^{n}$

$S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

$S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})$

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

无穷等比数列的和

我们说等比数列 $\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots$ 是收敛的，如果无穷级数之和 $S_{\infty }$ 趋近于某个极限。 这种情况发生在 $|r|<1$ 时。 因此，如果 $|r|<1$，那么

$S_{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$.

证明如下：

$S_{\infty }=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...$

$rS_{\infty }=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$

$S_{\infty }-rS_{\infty }=a$

$S_{\infty }(1-r)=a$

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

二项式表达式

二项式是具有两个部分的多项式，形式为 $(a+b)$，例如 $(x+1)$。 当二项式被提升到某个幂时，可以通过多次展开括号来简化它。 展开的

$(x+1)$ 的展开式

以下是 $x+1$ 被提升到不同幂时的展开式。

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

如果你仔细观察每一项的系数，你可能会注意到一个规律。这些数字被称为**二项式系数**，它们可以通过将上面的两个数字加起来得到。

帕斯卡三角形

二项式系数更常被称为**帕斯卡三角形**，以布莱兹·帕斯卡的名字命名。

以下是帕斯卡三角形的前10行

                                       (1)
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

由于每个数字都是通过将上面的两个数字相加得到的，因此可以通过找到三角形的几行来帮助你展开二项式。对于幂大于10的二项式，你应该使用二项式系数公式。

二项式系数公式

当二项式被提高到很大的幂时，通过写出帕斯卡三角形来找到二项式系数可能太耗时了。幸运的是，有一个公式可以找到帕斯卡三角形的任何一行。

如果$n$ 是展开的幂，而$r$ 是单行中项的编号，则二项式系数公式为

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

$!$ 表示**阶乘**，它将$n$ 乘以小于它本身的所有整数，一直到1。

所以$3!=3\times 2\times 1=6$.

要找到二项式系数，您可以使用公式，其中包含所需的值 $n$ 以及 $r=0$、$r=1$、$r=2$，依此类推，直到 $r=n$。

大多数科学计算器将有两个按钮在此过程中很有用，一个是阶乘按钮，通常标记为 n!，另一个实际上会找到 ${n \choose r}$，并且通常标记为 nCr 或 $C_{r}^{n}$。（C 代表“选择”或“组合”，这是基于公式在概率中的使用。）

您应该注意，帕斯卡三角形是对称的，因此一旦系数重复，您就可以轻松地写下其余系数。

展开二项式

现在您已经知道如何在二项式展开中找到系数，您可以通过遵循以下简单步骤轻松展开任何被提升到正整数的二项式

对于形式为 $(a+b)^{n}$ 的二项式，

1. 写下 $a$ 的降幂，从 $n$ 到 $0$
2. 写下 $b$ 的升幂，从 $0$ 到 $n$，确保您放置的项使幂相加为 $n$
3. 将二项式系数添加到每一项，无论是来自帕斯卡三角形的第 $n$ 行（忽略顶部的 1），还是使用二项式系数公式。

然后在必要时进行简化。

例如，对于 $(x+2)^{4}$ 的展开

$x$ 按降序排列：$x^{4}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $x^{2}$ $+$ $x^{1}$ $+$ $x^{0}$

$2$ 按升序排列：$2^{0}$ $+$ $2^{1}$ $+$ $2^{2}$ $+$ $2^{3}$ $+$ $2^{4}$

将所有内容组合在一起，我们现在有

$x^{4}$$2^{0}$ $+$ $x^{3}$$2^{1}$ $+$ $x^{2}$$2^{2}$ $+$ $x^{1}$$2^{3}$ $+$ $x^{0}$$2^{4}$

添加二项式系数

$1x^{4}$$2^{0}$ $+$ $4x^{3}$$2^{1}$ $+$ $6x^{2}$$2^{2}$ $+$ $4x^{1}$$2^{3}$ $+$ $1x^{0}$$2^{4}$

最后简化后会得到

$x^{4}$ $+$ $8x^{3}$ $+$ $24x^{2}$ $+$ $32x^{1}$ $+$ $16 $

此过程总结在被称为二项式定理的方程中

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

如果您不熟悉求和符号，这意味着

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

可以做一些简化，但没有必要记住它们，因为你会自动学会它们： $(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

这是C2（核心数学 2）模块的一部分，该模块属于A-level 数学文本。

多项式除法和因式分解 / 数列与级数 / 对数和指数 / 圆和角 / 积分

附录 A：公式