A-level 数学/OCR/C2/多项式除法与因式分解

余数定理

余数定理指出：如果有一个多项式 f(x) 除以 x + c，那么余数等于 f(-c)。下面是一个例子。

当 $x^{3}+8x^{2}-4x^{2}+17x-40$ 除以 x - 3 时，余数是多少？

$f(3)=3^{3}+8\left(3\right)^{2}-4\left(3\right)^{2}+17\left(3\right)-40=74$

余数是 74。

当您对一个方程式进行因式分解时，您试图“取消乘法”。N 根定理指出，如果 f(x) 是一个大于或等于 1 的多项式，那么 f(x) 恰好有 n 个根，前提是多重根 k 被计算了 k 次。最后部分意味着，如果一个方程式有 2 个根，它们都是 6，那么我们把 6 算作 2 个根。

因式定理允许我们检查一个数是否是因数。它指出

一个多项式

f(x)

有一个因式 x - c 当且仅当

f(c)=0

.

例如

确定 x + 2 是否是 $2x^{2}+3x-2$ 的因数。

由于 c 为正而不是负，我们需要使用这个基本恒等式

$x+2=x-\left(-2\right)$

现在我们可以使用因式定理。

$2\left(-2\right)^{2}+3\left(-2\right)-2=8-6-2=0$ .

由于结果为 0，因此 (x+2) 是 $2x^{2}+3x-2$ 的因数。

这意味着可以将多项式重新表示为 (x+2)(x 的某个线性表达式)。

所以 $2x^{2}+3x-2$ = (x+2)(ax+b)

展开右侧得到

$2x^{2}+3x-2$ = $ax^{2}+x(2a+b)+2b$

等式同类项得到

2= a

2a+b = 3 并且

2b = -2

从第一个和第三个方程式得到 a= 2，b= -1，这在第二个方程式中也适用，因此

$2x^{2}+3x-2$ = (x+2)(2x-1)

这是 C2 （核心数学 2）模块的 A-level 数学文本的一部分。