A-level 数学/OCR/C2/圆和角

角度测量和圆形扇形

圆形的一部分被称为扇形。扇形的一侧是半径。包含在扇形中的圆周的一部分被称为弧。

角度度

一个圆有 360 度。每个度可以有 60 分（表示为 '），每分钟可以有 60 秒（表示为 "）。由于我们不能直接将分钟或秒转换为弧度，因此我们需要将分钟和秒转换为十进制数。以下是公式

将 $X^{\circ }$ Y' Z" 转换为度数。

$X+\left(Y\times {\frac {1}{60}}\right)+\left(Z\times {\frac {1}{3600}}\right)=X+{\frac {Y}{60}}+{\frac {Z}{3600}}$

举个实际例子，将 $23^{\circ }$ 18' 38" 转换为度数。

$23+{\frac {18}{60}}+{\frac {38}{3600}}=23.3106$

角度弧度

弧度是圆心角的度数，该圆心角所对的圆弧长度等于圆的半径。由于我们知道圆的周长公式是 $C=2\pi r$，我们可以确定一个圆中有 $2\pi$ 弧度。我们将弧度缩写为 rad。

度和弧度之间的转换

数学要求我们对大多数角度测量使用弧度。因此，我们需要知道如何将度数转换为弧度，因为我们知道一个圆有 $360^{\circ }$ 度或 $2\pi$ 弧度。我们可以确定以下等式：$1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}$

$1\ radian={\frac {180}{\pi }}$

因此我们可以写出这些一般公式。

$X^{\circ }={\frac {X\times \pi }{180}}$

$X\ radian\left(s\right)={\frac {X\times 180}{\pi }}$

以下是如何将 $20^{\circ }$ 转换为弧度

$20^{\circ }={\frac {20\times \pi }{180}}={\frac {1}{9}}\pi \ rad$

将 ${\frac {1}{9}}\pi$ 转换为度数。

${\frac {1}{9}}\pi \ radian\left(s\right)={\frac {{\frac {1}{9}}\pi \times 180}{\pi }}=20^{\circ }$

弧长

在大多数情况下，很难用尺子测量弧长。因此，我们需要使用公式来确定弧长。我们使用的公式是

$Arc\ Length=(\theta \ in\ radians)(radius)\,$ 用符号表示为 $s=\theta r\,$。注意：θ 必须以弧度表示。

以下是一个例子，确定一个半径为 6 厘米、角度为 $53^{\circ }$ 的扇形所形成的弧长。

首先我们需要将 θ 从度数转换为弧度。

$53^{\circ }={\frac {53\pi }{180}}rad$

现在我们可以计算弧长。

$s={\frac {53\pi }{180}}\times 6\approx 5.55cm$

扇形面积

扇形面积可以使用以下公式求得：

$Area={\frac {1}{2}}r^{2}\theta$ 注意：θ 必须以弧度表示。

计算一个半径为 3 厘米、角度为 2π 的扇形面积。

$Area={\frac {1}{2}}3^{2}\times 2\pi \approx 28.3cm^{2}$

这是 C2（核心数学 2）模块中 A-level 数学 文本的一部分。

多项式除法和因式分解 / 数列和级数 / 对数和指数 / 圆和角 / 积分

附录 A：公式