A-level 数学/OCR/C2/积分

积分是反微分的过程。在上一段中我们看到，对一个函数求导可以得到该函数的斜率（或变化率）。另一方面，对一个函数求积分，可以得到该函数曲线下的面积。

基本积分

积分是微分的逆运算。

符号

积分符号是 $\int f\left(x\right)dx$。莱布尼茨选择了这个符号，因为它看起来像一个拉长的 S，而积分是和的极限。f(x)被称为被积函数。dx 表示我们对 x 求积分。

积分规则

每次积分一个函数时，必须创建一个任意常数。这是因为当一个常数被微分时，它会变成零，因此无法判断是否存在这样的常数。

$\int x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C,\ (n\neq -1)$

$\int kx^{n}\,dx=k\int x^{n}\,dx$

$\int \left\{f^{'}(x)+g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)+g(x)+C$

$\int \left\{f^{'}(x)-g^{'}(x)\right\}\,dx=f(x)-g(x)+C$

示例

$\int x^{3}={\frac {1}{3+1}}x^{3+1}+c={\frac {1}{4}}x^{4}+c$

$\int 4x^{3}=4\int x^{3}=4\left({\frac {1}{3+1}}x^{3+1}\right)+c=4\left({\frac {1}{4}}x^{4}\right)+c=x^{4}+c$

$\int x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-x+3=\int x^{4}-\int 3x^{3}+\int 4x^{2}-\int x+\int 3={\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {3}{4}}x^{4}+{\frac {4}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+3x+c$

微积分基本定理

这是微积分中最重要的定理，它表明微分和积分是互逆的过程。定理如下：设 f 在 [a,b] 上连续。

1. 如果 $g(x)=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\ dt$ 那么 $g'\left(x\right)=f\left(x\right)$
2. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, F 是 f 的反导数，使得 F' = f

第一个规则表明，如果我们对一个函数进行积分，然后对结果进行微分，我们将得到相同的函数。第二部分说，我们可以通过在端点处减去 F 的值来找到定积分。

不定积分

微积分基本定理的第一部分表明，如果我们对一个函数进行微分，然后对一个函数进行积分，我们将得到一个不定积分。当我们计算不定积分时，结果将是一个函数。对于不定积分，我们使用适当的规则来获得一般反导数。如果给出图上的一个点，我们求解 C，以获得完整的反导数。

例子

一个函数的速率由方程 $4x^{3}+3x^{2}-4x+2$ 给出，点 (0, -7) 在曲线上。求曲线的方程。

1. 我们需要找到 $4x^{3}+3x^{2}-4x+2$ 的一般不定积分。

$\int (4x^{3}+3x^{2}-4x+2)dx=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+2x+C$

1. 现在我们将点 (0, -7) 代入一般反导数中以获得 C 的值。

$-7=\left(0\right)^{4}+\left(0\right)^{3}-2\left(0\right)^{2}+2\left(0\right)+C$

$C=-7$

1. 现在我们可以写出完整的反导数。

$F\left(x\right)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+2x-7$

定积分

定积分用于求曲线的下面积。微积分基本定理的第二部分允许我们计算这些积分，结果将是一个数字。定积分表示为 $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\,dx$。在定积分中，a 是*下限*，b 是*上限*，它们一起被称为*积分限*。积分限决定了求解面积的区间。当我们计算定积分时，我们不会写 +c，因为它们总是会抵消，而且可能导致混淆。当我们写 $F(x){\Big ]}_{a}^{b}$，这意味着我们已经找到了不定积分，并将要从 b 到 a 求解定积分。

定积分的规则

1. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, F 是 f 的反导数，使得 F' = f
2. $\int _{a}^{b}f\left(x\right)\ dx=-\int _{b}^{a}f\left(x\right)\ dx$
3. $\int _{a}^{a}f\left(x\right)\ dx=0$
4. 曲线与 x 轴之间的面积为 $\int _{a}^{b}y\,dx\ ({\mbox{for}}\ y\geq 0)$

1. 曲线与 y 轴之间的面积为 $\int _{a}^{b}x\,dy\ ({\mbox{for}}\ x\geq 0)$

曲线包围区域的面积

当我们计算曲线下的面积时，我们需要确保我们求面积的区间不会部分或全部位于x轴下方。为了确定这一点，我们需要找到函数的x轴截距。然后我们查看x轴截距是否在区间内。如果是，我们需要确定区间中哪一部分位于x轴下方。如果整个区间都位于x轴下方，我们将取面积的绝对值 $\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$。如果只有区间的一部分位于x轴下方，我们需要将积分函数分解为正负部分。对于负部分，我们需要取面积的绝对值。例如：如果我们需要找到 $\int _{a}^{b}$ 的面积，并且在区间的 $a,a_{1}$ 和 $b_{1},b$ 上曲线位于x轴上方，而在区间 $a_{1},b_{1}$ 上曲线位于x轴下方，我们将积分分解为以下部分： $\int _{a}^{a_{1}}f\left(x\right)dx+\int _{a_{1}}^{b_{1}}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)\end{vmatrix}}dx+\int _{b_{1}}^{b}f\left(x\right)dx$。如果你无法求出定积分的值，你需要使用 数值方法 来估计面积。

例子

求 $\int _{0}^{3}x^{3}-6x\ dx$ 的值。

1. 首先，我们需要找到x轴截距。在本例中，它们将位于0和2处。
2. 然后我们确定x在区间上是正的还是负的。

0__f(1)=-5__2__f(3)=9.

1. 现在我们将积分分解为几部分。 $\int _{0}^{2}{\begin{vmatrix}x^{3}-6x\end{vmatrix}}\ dx+\int _{2}^{3}x^{3}-6x\ dx$.
2. 现在我们求出两个定积分的值。

$\left(\left({\frac {1}{4}}\left(3\right)^{4}-3\left(3\right)^{2}\right)-\left({\frac {1}{4}}\left(2\right)^{4}-3\left(2\right)^{2}\right)\right)$ + $\left({\begin{vmatrix}\left({\frac {1}{4}}\left(2\right)^{4}-3\left(2\right)^{2}\right)-\left({\frac {1}{4}}\left(0\right)^{4}-3\left(0\right)^{2}\right)\end{vmatrix}}\right)$.

$\left(-6.75--8\right)$ + $\left({\begin{vmatrix}-8-0\end{vmatrix}}\right)$ = 9.25

1. 曲线$x^{3}-6x$在 0 到 3 之间的曲线下面积是 9.25。

包含两条曲线的面积

由两条曲线包围的面积

为了计算由曲线包围的面积，我们需要

1. 找到两条曲线相交的地方。 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$。 较低的交点将成为积分的下限，较高的交点将成为积分的上限。
2. 决定是否对 x 或 y 进行积分。 这在大多数情况下很容易做到，看看函数更易于作为 y = f(x) 或 x = f(y) 进行积分。
3. 确定哪条曲线在另一条曲线之上。
4. 从上面的曲线中减去下面的曲线。 $A=\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$
5. 计算定积分

例子

求由 $y=x^{2}+3x-3$ 和 $y=x$ 包围的面积。

1. $x^{2}+3x-3=x\,$

$x^{2}+2x-3=0\,$

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

$x=-3\ or\ 1\,$

1. 我们将对 x 进行积分，因为方程的形式是 f(x)。
2. 现在我们必须确定哪条线在另一条线之上。 为此，我们只需测试一个点。 我将使用 f(x) = 0

$y=0^{2}+3\times 0-3$ 和 $y=0\,$

$y=-3$ 和 $y=0\,$

所以 $y=x$ 将位于 $y=x^{2}+3x-3$ 之上。

1. 现在我们写出积分。

$\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}\left(x\right)-\left(x^{2}+3x-3\right)\end{vmatrix}}dx$

$\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}-x^{2}-2x+3\end{vmatrix}}dx$

1. 最后我们计算定积分。

${\begin{vmatrix}-{\frac {1}{3}}x^{3}-x^{2}+3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-3}^{1}$

${\begin{vmatrix}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{3}}\left(1\right)^{3}-\left(1\right)^{2}+3\left(1\right)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{3}}\left(-3\right)^{3}-\left(-3\right)^{2}+3\left(-3\right)\end{bmatrix}}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}1{\frac {2}{3}}-(-9)\end{vmatrix}}$

$Area=10{\frac {2}{3}}$

两条曲线之间的面积

当我们计算两条曲线之间的面积时，过程与计算两条曲线围成的面积非常相似。在问题中会给出积分的上下限。主要区别在于，在某些情况下我们需要将积分分开。

1. 找到两条曲线相交的地方。 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
2. 如果两条曲线在积分限内相交，我们需要将积分分成几部分。我们将使用相交点作为断点。
3. 决定是否对 x 或 y 进行积分。 这在大多数情况下很容易做到，看看函数更易于作为 y = f(x) 或 x = f(y) 进行积分。
4. 确定哪条曲线在另一条曲线的上面。如果积分被分割，在每个区间上都这样做。
5. 用上面的曲线减去下面的曲线。 $A=\int _{a}^{b}{\begin{vmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$。如果积分被分割，我们将把各个部分加起来。
6. 计算定积分。

例子

求由 $y=x^{2}+3x-3$ 和 $y=x$ 在 x = -4 和 x = 4 之间的面积。

1. $x^{2}+3x-3=x\,$

$x^{2}+2x-3=0\,$

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

$x=-3\ or\ 1\,$

1. 由于图形在区间上有相交点，我们需要将积分分成几部分。这些部分将是 (-4, -3), (-3, 1) 和 (1,4)。
2. 我们将对 x 进行积分，因为方程的形式是 f(x)。
3. 现在我们必须确定在每个区间上哪条线在另一条线的上面。为此，我们只需在每个区间上测试一个点。

对于直线 $y=x$ __f(-4)=-4__f(-2)=-2___f(3)=3__。

对于曲线 $y=x^{2}+3x-3$ __f(-4)=-1__f(-2)=-5___f(3)=15__.

现在我们知道在区间 (-4, -3) 上 $y=x^{2}+3x-3$ 在 $y=x$ 之上， (-3, 1) 上 $y=x$ 在 $y=x^{2}+3x-3$ 之上， (1, 4) 上 $y=x^{2}+3x-3$ 在 $y=x$ 之上。

1. 现在我们写出积分。

$\int _{-4}^{-3}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+3x-3\right)-\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}\left(x\right)-\left(x^{2}+3x-3\right)\end{vmatrix}}dx$+ $\int _{1}^{4}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+3x-3\right)-\left(x\right)\end{vmatrix}}dx$

$\int _{-4}^{-3}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+2x-3\right)\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{-3}^{1}{\begin{vmatrix}-x^{2}-2x-3\end{vmatrix}}dx$ + $\int _{1}^{4}{\begin{vmatrix}\left(x^{2}+2x-3\right)\end{vmatrix}}dx$

1. 现在我们计算定积分。

${\begin{vmatrix}{\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-4}^{-3}$ + ${\begin{vmatrix}-{\frac {1}{3}}x^{3}-x^{2}+3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{-3}^{1}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}-3x\end{vmatrix}}{\Big ]}_{1}^{4}$

${\begin{vmatrix}-9-{\frac {-76}{3}}\end{vmatrix}}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {2}{3}}-18\end{vmatrix}}$ + ${\begin{vmatrix}{\frac {76}{3}}-{\frac {-5}{3}}\end{vmatrix}}$

$Area=60{\frac {2}{3}}$

曲线下面积的估计

当一个函数很难或不可能积分，或者当我们从一组值获得曲线时，就需要估计曲线下的面积。

梯形法则

梯形法则通过将曲线变成一组梯形（或条带）来估计曲线在限制之间的面积，每个条带由两个纵坐标组成，因此始终比条带多一个纵坐标。公式是

$\int _{a}^{b}y\,dx\approx {\frac {1}{2}}h\left\{\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n-1}\right)\right\}$

其中：$h={\frac {b-a}{n}}$

例子

使用梯形法则用4个条带计算$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx$的值。

首先，我们算出h。

$h={\frac {1-0}{4}}={\frac {1}{4}}=0.25$

现在我们开始建立梯形法则。

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx {\frac {1}{8}}\left[f\left(0\right)+f\left(1\right)+2\left\{f\left(0.25\right)+f\left(0.5\right)+f\left(0.75\right)\right\}\right]$

求解 f(n) 我们得到

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx {\frac {1}{8}}\left[1+1.73+2\left\{1.22+1.41+1.42\right\}\right]$

$\int _{0}^{1}(2x+1)^{1}/2\ dx\approx \ 1.39375$

积分到无穷大

一个积分的上限趋于 $\infty$ 或下限趋于 $-\infty$ 的积分是不定积分，不能直接计算，我们需要找到函数的极限。不定积分 $\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx$ 和 $\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx$ 如果极限存在则收敛，如果极限不存在则发散。计算积分趋于无穷大的规则是

1) 如果 $\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$ 对所有数字 $n\geq a$ 存在，则

$\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{\infty }f\left(x\right)\ dx$

极限必须是一个有限数。

2) 如果 $\int _{n}^{b}f\left(x\right)\ dx$ 对所有数字 $n\leq b$ 存在，则

$\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx=\lim _{n\to -\infty }\int _{-\infty }^{b}f\left(x\right)\ dx$

极限必须是一个有限数。

3) 如果 $\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$ 和 $\int _{n}^{b}f\left(x\right)\ dx$ 收敛，那么

$\int _{-\infty }^{\infty }f\left(n\right)\ dx=\int _{n}^{a}f\left(x\right)\ dx+\int _{a}^{\infty }f\left(n\right)\ dx$

a 是任何实数。

你现在可以尝试 积分练习题。

这是 C2（核心数学 2）模块的一部分，来自 A-level 数学 文本。

多项式除法和因式分解 / 数列和级数 / 对数和指数 / 圆和角 / 积分

附录 A：公式