A-level 数学/OCR/C1/微分

动机

求直线的斜率很简单。对于一条直线$y=mx+c$，斜率是m。但是如何求曲线上特定点的斜率呢？假设我们想要找到$y=x^{2}$在点(3,9)处的切线的斜率。这个问题马上就提出了一个难题。我们怎样才能在一个已知点的情况下求直线的斜率呢？我们可以使用一系列弦

x	y	m
4	16	7
3.75	14.0625	6.75
3.5	12.25	6.5
3.25	10.5625	6.25
3.005	9.030025	6.01

在点(3, 9)处的切线的斜率是6。如你所见，这种方法相当繁琐。幸运的是，我们有导数，它可以准确快速地确定任何变化率。

导数

导数是函数的变化率。它是在第一个点和第二个点之间的距离接近 0 时使用直线斜率公式得到的：$\lim _{h\to 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}=f'(x)$。只有当极限在点a处存在时，函数才在点a处可微。导数的记号为${\frac {dy}{dx}}\ or\ f'\left(x\right)$。

微分法则

1. 常数函数的导数

${\frac {d}{dx}}\left(c\right)=0$

1. 幂法则

${\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$

1. 常数倍法则

如果c是常数，f(x)是可微函数：${\frac {d}{dx}}cf\left(x\right)=c{\frac {d}{dx}}f\left(x\right)$

1. 和法则

${\frac {d}{dx}}{\begin{bmatrix}f\left(x\right)+g\left(x\right)\end{bmatrix}}={\frac {d}{dx}}f\left(x\right)+{\frac {d}{dx}}g\left(x\right)$

1. 差法则

${\frac {d}{dx}}{\begin{bmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{bmatrix}}={\frac {d}{dx}}f\left(x\right)-{\frac {d}{dx}}g\left(x\right)$

直线的斜率

导数用于求曲线在点a处的斜率。然后将点a代入导数。结果将给出点a处的斜率。距离函数的一阶导数是速度，二阶导数是加速度。

一辆汽车行驶的距离由函数$s=1.25t^{2}-5$t给出。其中s是行驶距离（米），t是经过时间（秒）。当经过12秒时汽车的速度是多少？

1) 利用幂函数法则、常数倍乘法则和差分求导法则，得到 v = 2.5t - 5

2) 现在将时间代入函数：v = 2.5x12 - 5，得到 v = 25 米/秒。

因此，12秒后汽车的速度将是每秒25米。

切线

由于我们可以在任何点求出函数的斜率，因此我们也可以在任何点求出函数在该点处的切线的方程。

曲线$y=x^{2}+3x-16$在x = -4处的切线方程是什么？

首先我们需要求出方程的导数。

${\frac {dy}{dx}}=2x+3$

然后我们求出x = -4处的斜率。

$2\left(-4\right)+3=-5$

利用原始函数，我们找到与切点处x值相对应的y值。

$y=-4^{2}+3\left(-4\right)-16=-12$

然后我们使用点斜式方程求出方程。

$y+12=-5\left(x+4\right)$ 因此，切线的方程是y = -5x - 32....

法线

法线是垂直于切线的直线。因此，当我们确定法线的方程时，步骤与确定切线的方程非常相似。示例

曲线$y=x^{2}+3x-16$在x=-4处的法线方程是什么？

首先我们需要求出方程的导数。

${\frac {dy}{dx}}=2x+3$

然后我们需要针对给定的x值求解。

$2\left(-4\right)+3=-5$

然后我们使用垂直线方程求出法线的斜率。

$m_{1}\times m_{2}=-1$ 因此$-5\times m_{2}=-1$ 因此斜率是$m_{2}={\frac {-1}{-5}}$，也就是${\frac {1}{5}}$.

然后我们找到与x值相对应的y值

$y=-4^{2}+3\left(-4\right)-16=-12$

然后我们使用点斜式方程求出方程。

$y+12=.2\left(x+4\right)$ 因此，法线的方程是y = .2x - 11.2

高阶导数

在 C2 中，您将需要对函数的二阶（在某些情况下，三阶）导数的应用有一个简单的理解。二阶导数就像它的名字一样，是导数的导数。三阶导数是二阶导数的导数，以此类推。二阶导数的符号是，假设我们谈论的是关于 x 的 y 的导数：${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 后续的导数只是在它们的索引中具有更大的数字。

导数在图形中的应用

导数还可以帮助我们绘制函数图形，通过定位最小值、最大值和拐点。它们还可以确定函数是凸的还是凹的区间。

凸 - 图形在切线下方。例如$-x^{2}$，想象一个皱眉的表情。

凹 - 图形在切线上方。例如$x^{2}$，想象一个微笑的表情。

拐点 - 函数从凸变为凹或反之的点。例如$x^{3}$ 在 x = 0 处。

最大值点 - 函数在凸区间上的最高点。

最小值点 - 函数在凹区间上的最低点。

驻点 - f'(c) = 0 的点

驻点规则

• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 并且 $f''\left(c\right)<0$，则 c 是 f(x) 的局部最大值点。f(x) 的图形将在该区间上是凹的。
• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 并且 $f''\left(c\right)>0$，则 c 是 f(x) 的局部最小值点。f(x) 的图形将在该区间上是凸的。
• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 并且 $f''\left(c\right)=0$ 以及 $f'''\left(c\right)\neq 0$，则 c 是 f(x) 的局部拐点。

定位和评估驻点

函数

原始函数用于确定函数何时穿过 x 轴和 y 轴。

一阶导数检验

一阶导数用于找到所有最小值、最大值或拐点。在这些点上 f'(x) = 0。此外，如果我们制作符号图，我们可以看到函数在哪些区间上是递增的，哪些区间上是递减的，但二阶导数是更好的检验方法。

二阶导数检验

二阶导数用于找到函数在哪些点上是凹的或凸的，在这些点上 f''(x) = 0。然后您需要制作符号图。二阶导数符号为正的区间，函数是凹的；如果符号为负，则函数是凸的。当 f'(a) 为零，并且在该区间上 f''(x) 为负时，则点 a 是最大值点，在此点之前，函数将是递增的，在此点之后，函数将是递减的。当 f'(a) 为零，并且在该区间上 f''(x) 为正时，则点 a 是最小值点，在此点之前，函数将是递减的，在此点之后，函数将是递增的。

三阶导数检验

三阶导数检验确定一个点是否是拐点。如果 f''(c) = 0 并且 $f'''(c)\neq 0$，则 f(c) 是一个拐点。

一个例子

绘制函数 $f(x)=x^{3}-4x^{2}$ 的图像。

1) 函数告诉我们

$f(x)=x^{2}(x-4)$

$0=x^{2}(x-4)$ x = 0 和 x=4 是 x 轴截距。

$y=0^{2}(0-4)$ y = 0 是 y 轴截距。

2) 然后我们使用一阶导数检验。

$f'(x)=3x^{2}-8x$

$0=x(3x-8)$ x = 0 和 x=2.66 是极值点或拐点。

3) 然后我们使用二阶导数检验。

f''(x) = 6x - 8

0 = 6x -8 所以 x = ${\frac {4}{3}}$.

现在我们画一条数轴 __f'''(0) = -8______ 1.333____f'''(2) = 4.

在 1.333 之前，函数是凹的；在 1.333 之后，函数是凸的。

4) 然后我们使用三阶导数检验。

f'''(x) = 6

$f'''({\frac {4}{3}})=6$ 该点是拐点。

5) 现在我们把所有信息汇总到一个表格中。另外，我们需要使用 f(x) 来找到步骤 1 到 3 中获得的所有 x 值对应的 y 值。

区间或点	f(x) 的行为
x < 0	递增
(0,0)	极值点、x 轴截距和 y 轴截距
0 < x < 1.33	递减
(1.33,-4.74)	拐点
1.33 < x < 2.66	递减
(2.66,-9.48)	极值点
2.66 < x < $\infty$	递增
(4,0)	x 轴截距

6) 现在我们可以绘制我们的图像。

这是 C1（核心数学 1）模块的一部分，属于 A-level Mathematics 课程。