A-level 数学/OCR/C1/坐标几何和图形

坐标是描述位置的一种方式。 在二维中，位置由两个垂直方向给出，即 *x* 和 *y*。

线性方程

直线

直线具有固定的斜率。 直线的斜率及其 y 轴截距是区分一条直线与另一条直线的两个信息。

直线方程

直线最常见的形式是 y = mx + c。 m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的交点。 当 c 为 0 时，直线通过原点 (0,0)。 方程的其他形式为 x = a，用于无限斜率的垂直线，y = b 用于斜率为零的水平线。 此外，一些方程通常写为：px + qy + c = 0。 您也可以使用方程 y-y₁=m(x-x₁)

直线斜率

直线的陡峭程度可以通过其斜率来衡量，斜率是 y 方向的变化量除以 x 方向的变化量。 字母 m 用于表示斜率。 求斜率的公式为： $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 作为旁注 $\tan \theta =m\,$.

点斜式

斜率为 m 且经过坐标 $\left(x_{1},y_{1}\right)$ 的直线方程为： $y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$。 然后只需将方程重新排列成 y = mx + c 的形式。

平行线

如果一对直线的斜率相等，则它们平行（符号为 $\|$）。 如果它们的斜率相等，则 $m_{1}=m_{2}\,$。 因此，为了找到平行线的方程，您需要原始线的斜率和平行线上的一组坐标。 然后使用点斜式来找到平行线的方程。

垂直线

两条直线互相垂直（符号为 $\perp$），如果它们的斜率乘积为 $m_{1}\times m_{2}=-1$。因此，如果你需要一条垂直于另一条直线的直线的方程，你只需要用 m 的负倒数替换斜率 m。

例如，如果直线 1 为 y = 2x + 3，并且你需要找到一条通过点 (0, 1) 的垂直于它的直线，那么斜率 m = -1/2（因为 2 x -1/2 = -1）。

这给出了 y = -x/2 +c。

将已知点 (0, 1) 代入此方程得到

1 = -0/2 +c，这给出了 c = 1

因此，方程为 y = 1 - x/2。

两点之间的距离

使用两点的坐标，可以使用勾股定理计算它们之间的距离。任意两点 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$ 之间的距离 d 由下式给出：$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

直线的中间点

当两点的坐标已知时，中点是这两点之间中点。对于任意两点 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$，AB 中点的坐标可以通过 $\left({\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},{\frac {{y_{1}}+{y_{2}}}{2}}\right)$ 找到。

直线的交点

只要两条直线不平行，它们就会在一点相交。你可以通过简单地 联立方程 求解两个方程来找到交点。对于曲线也是如此，尽管非线性曲线可能在多个点相交或根本不相交，并且通常需要不同的方法来求解。

曲线

要绘制一条曲线的图形，你只需要知道曲线的形状以及其他重要的信息，如 x 轴和 y 轴的交点以及任何最大值和最小值的点。

形如 $y=x^{n}$ 的曲线

0 次 - 常数 - $c$ 或 $k$。在本例中 y=2	1 次 - 线性 - $ax+b$ 或 $mx+c$。在本例中 y = x。
二次函数 - 二次方 - $ax^{2}+bx+c$ . 在这种情况下 y = $x^{2}$	三次函数 - 立方 - $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. 在这种情况下 y = $x^{3}$

注意: 所有 $x$ 的奇数次方具有相同的形状，从左下角到右上角，所有 $x$ 的偶数次方具有相同的“桶状”曲线。

形如 $y={\frac {1}{x^{n}}}$ 的曲线

就像前面一样，具有 $x$ 偶数次方的所有曲线具有相同的形状，具有 $x$ 奇数次方的曲线具有另一种形状。

$y={\frac {1}{x}}$	$y={\frac {1}{x^{2}}}$

这种形式的所有曲线都没有 $x=0$ 的值，因为 ${\frac {1}{0}}$ 是未定义的。在 $y$ 轴上有渐近线，曲线越来越缓慢地向 y 轴移动，但永远不会真正接触到。

形如 $y={\sqrt {x}}$ 的曲线

这种形式的所有曲线都没有 x < 0 的值。它们都具有相同的形状。

直线和曲线的交点

当一条直线与一条曲线相交时，可以通过将直线的方程代入曲线的方程来找到交点。如果直线形如 $y=mx+c$，那么你可以用 $mx+c$ 替换任何 $y$ 的实例，然后展开方程，然后因式分解得到的二次方程。

需要有关描述曲线和直线之间几何关系的信息

曲线的交点

可以使用与直线和曲线相同的方法。但是，它只适用于简单的情况。当代数方法失效时，需要求助于图形方法或数值方法。在考试中，你只需要使用代数方法。

图形规则

在许多情况下，使用这些规则可以很容易地从现有图形获得新图形。

反射

1. $y=-f\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于 x 轴的对称图形。
2. $y=f\left(-x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 关于 y 轴的对称图形。

拉伸

1. $y=f\left(bx\right)\,$ 如果 $0<b<1\,$ 则远离 y 轴拉伸，如果 $b>1\,$ 则向 y 轴拉伸。在这两种情况下，变化幅度为 b 个单位。
2. $y=af\left(x\right)\,$ 如果 $0<a<1\,$ 则向 x 轴拉伸，如果 $a>1\,$ 则远离 x 轴拉伸。在这两种情况下，变化幅度为 a 个单位。

平移

1. $y=f\left(x-h\right)\,$ 是将 f(x) 向右平移 h 个单位后的图形。
2. $y=f\left(x+h\right)\,$ 是将 f(x) 向左平移 h 个单位后的图形。
3. $y=f\left(x\right)+k\,$ 是将 f(x) 向上平移 k 个单位后的图形。
4. $y=f\left(x\right)-k\,$ 是将 f(x) 向下平移 k 个单位后的图形。

圆形

圆形是平面中所有与给定点（称为圆心）距离为定值 r 的点的集合。距离 r 是圆形的半径。

圆形的两个基本定律是

$Area=\pi r^{2}\,$

$Circumference=2\pi r\,$

圆的性质

如果半径垂直于弦，那么半径将平分该弦。

如果圆周上的任意一点与直径连接，则会形成一个直角三角形。

如果画出半径，然后从该点画出切线，那么半径和切线将相互垂直。

圆的方程

圆的标准方程为

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$

这将始终得到一个以原点 (0,0) 为中心的圆。如果我们想要一个以 (h,k) 为中心的圆，则使用以下公式。

$\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}$

但是你不能用计算器绘制这两个方程。你需要将它分成两个方程，但图将不完美，因为当 x = 0 和 $(x-h)^{2}=r^{2}$: $y=+{\sqrt {r^{2}-\left(x-h\right)^{2}}}+k$ 和 $y=-{\sqrt {r^{2}-\left(x-h\right)^{2}}}+k$ 时，x 未定义。

以下是 $\left(x-5\right)^{2}+\left(y-8\right)^{2}=2^{2}$ 的图形。

这是 C1 (核心数学 1) 模块中 A-level 数学 文本的一部分。