A-level 数学/OCR/C1/方程式

方程由等号 ( $=$ ) 连接的两个表达式组成。等号左侧的所有内容等于等号右侧的所有内容，例如 $2+3=4+1$ 。有些方程包含一个**变量**，通常用 $x$ 或 $y$ 表示，当然也可以用任何其他符号。

表达式操作

有时表达式会比实际需要更复杂，可以用更易于理解的形式表示它们。这些技巧对于A-level课程的其余部分至关重要，尽管您很可能已经在GCSE中学习过它们。

合并同类项

合并同类项时，只需将所有 $x$ 项加在一起，将所有 $y$ 项加在一起，将所有 $z$ 项加在一起。对于任何其他代表变量的字母，也适用相同规则。

例如， $2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 简化为

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，将所有答案加起来，简化的 $2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 为 $3x-3y+6z$ .

乘法

不同变量的乘法，例如 $a\times b$ 变为 $ab$ 。单个变量变为指数，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$ 。

就像加法和减法一样，您需要将同类项放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 变为： $24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

分数

分数经常出现。因此，我们需要学习如何正确地处理它们。在处理分数时，规则是使所有分母相等，然后将表达式写成一个分数。您需要同时乘以分子和分母相同的数字以保持分数的意义不变。

例如，对于 ${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$ ，公分母是 $10$ 。

将分子和分母都乘以 $5$ ： ${\frac {15x}{10}}$

将分子和分母都乘以 $2$ ： ${\frac {4y}{10}}$

保持不变： ${\frac {z}{10}}$

现在您有 ${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$ ，它变为 ${\frac {15x+4y-z}{10}}$ 。

解方程

通常，要解方程式，必须对其进行重新排列，使未知项位于等号的一侧。通过重新排列 $2+x=5$ 到 $x=5-2$ ， $x$ 已被设为方程式的 **主项**。现在，通过简化方程式，可以发现解为 $x=3$ 。

含有变量的方程式仅对该变量的特定值成立。例如， $2+x=5$ 仅对 $x=3$ 成立。当方程式成立时，变量具有的值称为方程式的 **解**。因此， $x=3$ 是方程式 $2+x=5$ 的解。

改变方程式的主题

通常给出的方程式比上面的例子更复杂。要将一项从等号的一侧移到另一侧，必须在等号的两侧执行相同的操作。例如，要使 $x$ 成为 $y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$ 的主项

将等号两边都乘以 $3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
将等号两边都除以 $4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
从等号的两边都减去 $b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
对等号的两边都开平方	${\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$ 或 $-{\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

求解二次方程

二次方程是变量被提升到 2 次方的方程，与线性方程不同，二次方程最多有两个**根**。根是使方程成立的变量值之一，要完全求解方程，必须找到所有根。对于二次方程，可以将其因式分解，然后很容易找到使方程成立的值。上面的例子是一个相当简单的例子。你通常会得到一个更复杂的方程，例如 $2x^{2}+5x+3=0$ 。如果方程不是以 $ax^{2}+bx+c=0$ 的形式给出，请将其重新排列，使其变成该形式。因式分解 $2x^{2}+5x+3=0$ 所需的步骤是

将 $2$ 乘以 $3$ （ $x^{2}$ 的系数乘以常数项）	$2\times 3=6$
找到两个数，这两个数加起来等于 $5$ （ $x$ 的系数），并乘起来等于 $6$ （上一步的答案）	$2\times 3=6$ $2\times 3=6$ ， $2+3=5$
将 $5x$ 拆分成 $2x+3x$ （根据上一步的结果）	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
简化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
进一步简化	$(2x+3)(x+1)=0$