A-level 数学/OCR/C1/多项式

您已经熟悉了诸如 $3x+5$ 或 $2x^{2}+8x+2$ 以及可能 $x^{3}+2x-2$ 的表达式。可以写成这种形式的表达式的通用术语是 **多项式**。不包括常数项，多项式中 $x$ 的所有幂都是正整数。具有 $x$ 为非整数或负数幂的表达式不是多项式。

多项式的基本概念

所有多项式都可以写成以下形式

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\dots a_{n}x^{n}$.

数字 $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\dots$ 被称为 **系数**，通常已经知道。例如，在 $4x^{2}+3x+9$ 中，$x^{2}$ 的系数为 4。系数可以是 1，甚至可以是 0，例如，$x^{3}+x$ 仍然是一个多项式。

多项式的次数

多项式中最高次项的次数被称为该多项式的 **次数**，有时也称为 **阶数**。例如，$x^{4}+4x^{2}+9$ 是一个四次多项式。某些次数有特定的名称，并且在系数未知时通常用特定的字母表示。

• 次数 0 - 常数 - $c$ 或 $k$
• 次数 1 - 一次 - $ax+b$ 或 $mx+c$
• 次数 2 - 二次 - $ax^{2}+bx+c$
• 次数 3 - 三次 - $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
• 次数 4 - 四次 - $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

符号

本页面的大多数多项式都是用 $x$ 表示的，例如，$4x^{2}+2x-9$，尽管多项式可以用其他字母表示。例如，$3z^{2}+z-2$ 被称为 **关于 $z$ 的多项式**。

为了清晰起见，通常将多项式写成降幂排列，尽管多项式中的幂次可以按任何顺序排列。通过将多项式写成降幂排列，可以简单地通过查看第一项来确定多项式的次数。当幂次按顺序排列时，对两个或多个多项式进行运算也变得更加简单，因为在计算过程中通常会将同类项分组。

事实上，如果你没有将诸如 $x^{2}+5x-3x$ 化简为 $x^{2}+2x$ 这样的东西，你可能会在考试中丢分。

多项式的运算

加法

要将多项式相加，只需将每项的系数相加即可。如果这听起来很混乱，别担心，你可能已经知道如何做到这一点，这基本上与合并同类项相同。将 $x$ 的系数加在一起，将 $x^{2}$ 的系数加在一起，等等。例如

$\left(4x^{2}+2x+9\right)+\left(6x^{2}-2\right)=10x^{2}+2x+7$

注意 $4+6=10$ 和 $9-2=7$。有些人发现像数值加法一样写出来会很有帮助

	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$
+	$6x^{2}$		$-2$
	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$

使用此方法时，务必将具有相同幂次的 $x$ 的项对齐，如有必要，请在上面示例中留出空格。

减法

对于多项式的减法，可以使用与上述相同的方法，只是用减法代替加法。当涉及负项时，可能会令人困惑，因此建议将第二行的符号反转，然后将两个多项式加在一起。

这

	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$
-	$6x^{2}$		$-2$
	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$

将变为

	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$
+	$-6x^{2}$		$+2$
	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$

这种方法在考试中是可取的，因为减去负数可能会造成混淆，并且在考试压力下可能会忽略错误。

乘法

要乘以多项式，只需将一个多项式中的所有项乘以另一个多项式中的所有项，然后将结果加起来。这种方法被称为 FOIL 方法。它代表 First Outer Inner Last。例如

$\left(3x^{2}+2x\right)\times \left(2x^{2}-5\right)$ 可以分解为

将第一项乘在一起。

$3x^{2}\times 2x^{2}=6x^{4}$

然后将外侧项乘在一起。

$3x^{2}\times -5=-15x^{2}$

然后将内侧项乘在一起。

$2x\times 2x^{2}=4x^{3}$

然后将最后一项乘在一起。

$2x\times -5=-10x$

然后我们将结果加在一起，得到 $6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，以降幂排列。

随着你对这个过程越来越熟练，你就能一步到位完成整个乘法，而无需将其分解，例如这样

$\left(3x^{2}+2x\right)\times \left(2x^{2}-5\right)=6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$

乘法表

有些人发现用表格来展示这个很有帮助，一个多项式作为行，另一个作为列。

	$3x^{2}$	$2x$
$2x^{2}$
$-5$

然后将标题相乘，得到

	$3x^{2}$	$2x$
$2x^{2}$	$6x^{4}$	$4x^{3}$
$-5$	$-15x^{2}$	$-10x$

答案是所有单元格的总和

$6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，与之前一样。这种方法对于乘以更长的多项式特别有用，因为答案可能不适合放在一行上，并会导致错误。

长乘法

要乘的多项式也可以像普通长乘法一样排列，如下所示

			$3x^{2}$	$2x$
	$\times$		$2x^{2}$		$-5$
这是第一行乘以$-5$			$-15x^{2}$	$-10x$
这是第一行乘以$2x^{2}$	$6x^{4}$	$4x^{3}$
这是两个答案的总和	$6x^{4}$	$4x^{3}$	$-15x^{2}$	$-10x$

除法

多项式除法可以像普通长除法一样进行。但是，你需要非常熟练地进行多项式的加、减、乘运算才能进行除法。

例如，要将$x^{3}-12x^{2}-42$除以$x-3$，可以这样写

$x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}$

1. 用除数中最高项除被除数的第一项。将结果放在线上面（x³ ÷ x = x²）。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$

2. 将除数乘以刚得到的商的第一项（最终商的第一项）。将结果写在被除数的前两项下方（x² * (x-3) = x³ - 3x²）。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$

3. 从原始被除数的对应项中减去刚得到的乘积，并将结果写在下方。这有时可能很棘手，因为符号问题。（(x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²）然后，将被除数的下一项“拉下来”。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-\quad 3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$

4. 重复最后三步，但这次使用刚写下的两项作为被除数。

${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$

5. 重复步骤 4。这次，没有要“拉下来”的项。

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

横线上面的多项式是你的答案，剩下的数 (-123) 是余数。

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27$ 余数 $-123$

多项式的曲线

可以通过观察多项式来了解其曲线的一般形状。 最重要的因素是多项式的次数以及最高次项系数的符号。 为了更准确地绘制图形，您需要知道曲线在何处有**转折点**以及它与$x$轴和$y$轴的交点。 具有此信息的草图通常足够详细，并且通常比逐点绘制曲线快得多且容易得多。

转折点

转折点是曲线从递减变为递增或反之的点。 在图形上，曲线只是改变方向，因此得名转折点。 在$y=x^{2}$中，转折点位于 (0,0)，即“桶”的底部。 $y=x^{2}$ 的转折点是**最小值**（复数**最小值**），而**最大值**（复数**最大值**）是相同的桶形，但倒置。 对于次数为$n$的多项式，其曲线最多有$n-1$ 个转折点。

当$x$取极值时的行为

当$x$取很大的正值和负值时，多项式会发生什么变化？

如果我们将$1000$ 作为我们的很大的数字，我们可以将其代入$6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，我们可以看看会发生什么

首先对于$x=1000$：$6000000000000+4000000000-15000000-10000=6003970000000$

现在对于 $x=-1000$: $6000000000000-4000000000-15000000+10000=5995985010000$

最终答案变化最大的是 $x^{4}$ 项。这是**主导项**。对于一个 $n$ 次的多项式，当 $x\rightarrow \pm \infty$ 时，$x^{n}$ 是主导项。

当您研究了 $x$ 的极值情况下多项式的行为后，您可能会注意到，如果 $n$ 是偶数，它将与 $x^{2}$ 共享相同的总体形状，如果 $n$ 是奇数，它将与 $x^{3}$ 共享相同的总体形状。

如果 $x^{n}$ 的系数为正，则具有偶数 $n$ 值的曲线将呈桶状，而具有奇数 $n$ 值的曲线通常在 $x$ 为负时为负，在 $x$ 为正时为正（类似于 $y=x$）。

如果 $x^{n}$ 的系数为负数，则当 $n$ 为偶数时，曲线将呈现倒置的桶形；当 $n$ 为奇数时，曲线在 $x$ 为负数时通常为正数，在 $x$ 为正数时通常为负数（类似于 $y=-x$）。

与坐标轴的交点

要找到曲线与 $y$ 轴的交点，只需查看常数项。例如，$y=x^{3}+2x^{2}-9x-18$ 将与 $y$ 轴在 $-18$ 处相交。如果不存在常数项，则曲线将穿过原点（0,0），因此将与 $y$ 轴在 $0$ 处相交。

事实上，在因式分解的形式下，你可以找到曲线与 $x$ 轴的交点。 $y=(x+3)(x+2)(x-3)$ 将与 $x$ 轴相交于 $-3$, $-2$, 和 $3$，因为通过使其中一个括号等于 $0$，它使得整个多项式等于 $0$，而 $y$ 等于 $0$。 $y=0$ 当然就是 $x$ 轴。曲线与 $x$ 轴的每个交点都是该方程的 **根**。一个 n 次多项式 **最多** 有 $n$ 个根。

**求解** 一个方程意味着找到所有根。二次多项式可以通过 二次公式 求解。对于更高次的多项式，你可能需要像上面一样对方程进行因式分解，逐点绘制图形，并观察曲线与 $x$ 轴的交点，或者使用 数值方法。你可以通过将答案代入原始方程，并观察结果是否为 $0$ 来检查答案。

二次表达式

二次表达式是一个 2 次多项式，其形式为 $f(x)=ax^{2}+bx+c$。

图形

二次函数图形可以写成 $y=ax^{2}+bx+c$ 的形式。 $y=2x^{2}+8x+2$ 的图形如右图所示，你可以看到它具有所有二次函数都具有的特征性“桶”形，称为 **抛物线**。 **顶点** 是最大或最小点。对称轴是将图形分成两个镜像部分的直线。它可以通过公式 ${\frac {-b}{2a}}$ 找到。

然而，这些性质更容易从它的完全平方形式（$a(x+d)^{2}+e$）推断出来。在这个形式中，我们知道，- d 是对称轴，而 e 是最大值或最小值点。如果 a 大于 0，则顶点 (-d,e) 将是一个最小值点。如果 a 小于 0，则顶点 (-d,e) 将是一个最大值点。

配方法

配方法是将一个二次方程从 $ax^{2}+bx+c$ 的形式转换为等效形式 $a(x+d)^{2}+e$ 的过程，其中 a、d 和 e 是常数。例如，二次方程 $2x^{2}+8x+2$ 将变成 $2(x+2)^{2}-6$。

将二次方程转换为完全平方形式，可以很容易地找到一些东西，例如二次方程的根和二次方程的顶点，甚至不需要绘制图形。

以下是配方法的步骤。别担心，它看起来比实际更容易。

步骤	操作	示例	一般情况
1.	确保二次方程处于常规形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非 $a=1$，"提取/分解 a"，即用 $a$ 除整个二次方程并将其放在括号外。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以在两边除以 $a$，例如 $2x^{2}+8x+2=0$ 只需变成 $x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$ 替换 $x^{2}+kx$ 部分。 重要的是要意识到$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$，这与之前的结果很接近，但不相等。这将在下一步中得到修正。为了避免写出实际上不相等的东西，一个好方法是在你熟悉了这种方法之后，在你操作过程中一次性完成这两个步骤。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	通过插入一个合适的数字来修正之前步骤中引入的错误。这个合适的数字可以通过两种方法找到 展开之前步骤中插入的项，并将其与原始表达式进行比较；或 记住错误始终是${\frac {k^{2}}{4}}$。 这一步被称为“配方法”，也是该方法名称的由来。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比$x^{2}+4x+1$ 大3，所以插入$-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$，所以错误是4：$2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步骤2是必要的，那么通过展开外层括号来稍微简化结果。然后你就完成了。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	检查你得到的结果是否能够展开回你最初的表达式。 注意：你可能对自己足够自信，可以跳过这一步。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

因此，$y=2x^{2}+8x+2$ 的完全平方形式为 $2(x+2)^{2}-6$。$-6$ 告诉我们曲线的最低点在 $y=-6$，而 $x+2$ 告诉我们对称轴在 $x+2=0$ 或 $x=-2$。因此，顶点位于 $(-2,-6)$，如果你看一下图形，你会发现情况确实如此。

二次方程

二次方程是从配方法的一般情况推导出来的

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可用于通过将数字直接代入二次方程来找到其根。例如，对于 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$。方程式的因式是 $x+2-{\sqrt {3}}$ 和 $x+2+{\sqrt {3}}$。

以下是求根公式如何从配方推导出来的。

步骤	操作	示例	一般情况
1.	要解形如 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法配方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	将 $(x+k)^{2}$ 项分离出来。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	对等式两边开平方，包括一个 $\pm$ ，因为括号里的内容可能是负数也可能是正数。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然后进行一些简化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	将 $x$ 单独隔离。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

判别式

注意，二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符号内。这部分称为判别式，可以单独考虑以确定方程根的数量。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，则你将无法找到平方根，因为你不知道如何求负数的平方根。你迄今为止遇到的数字类型被称为实数，因此可以说该二次方程具有 **无实根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，则改变平方根前的 $\pm$ 符号不会有任何影响，因为无论如何它都是零。因此，你将得到相同的根两次，因此可以说该二次方程具有 **一个重复根**。
• 如果 $b^{2}-4ac>0$，则 $\pm$ 将意味着你得到两个答案，因此可以说该二次方程具有 **两个不同的** （即不同的） **根**。

这是 C1（核心数学 1）模块的一部分，属于 A-level 数学 文本。