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A-level 数学/OCR/C1/多项式

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您已经熟悉了诸如 以及可能 的表达式。可以写成这种形式的表达式的通用术语是 **多项式**。不包括常数项,多项式中 的所有幂都是正整数。具有 为非整数或负数幂的表达式不是多项式。

多项式的基本概念

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所有多项式都可以写成以下形式

.

数字 被称为 **系数**,通常已经知道。例如,在 中, 的系数为 4。系数可以是 1,甚至可以是 0,例如, 仍然是一个多项式。

多项式的次数

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多项式中最高次项的次数被称为该多项式的 **次数**,有时也称为 **阶数**。例如, 是一个四次多项式。某些次数有特定的名称,并且在系数未知时通常用特定的字母表示。

  • 次数 0 - 常数 -
  • 次数 1 - 一次 -
  • 次数 2 - 二次 -
  • 次数 3 - 三次 -
  • 次数 4 - 四次 -

符号

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本页面的大多数多项式都是用 表示的,例如,,尽管多项式可以用其他字母表示。例如, 被称为 **关于 的多项式**。

为了清晰起见,通常将多项式写成降幂排列,尽管多项式中的幂次可以按任何顺序排列。通过将多项式写成降幂排列,可以简单地通过查看第一项来确定多项式的次数。当幂次按顺序排列时,对两个或多个多项式进行运算也变得更加简单,因为在计算过程中通常会将同类项分组。

事实上,如果你没有将诸如 化简为 这样的东西,你可能会在考试中丢分。

多项式的运算

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加法

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要将多项式相加,只需将每项的系数相加即可。如果这听起来很混乱,别担心,你可能已经知道如何做到这一点,这基本上与合并同类项相同。将 的系数加在一起,将 的系数加在一起,等等。例如

注意 。有些人发现像数值加法一样写出来会很有帮助

+
 

使用此方法时,务必将具有相同幂次的 的项对齐,如有必要,请在上面示例中留出空格。

减法

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对于多项式的减法,可以使用与上述相同的方法,只是用减法代替加法。当涉及负项时,可能会令人困惑,因此建议将第二行的符号反转,然后将两个多项式加在一起。

-
 

将变为

+
 

这种方法在考试中是可取的,因为减去负数可能会造成混淆,并且在考试压力下可能会忽略错误。

乘法

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要乘以多项式,只需将一个多项式中的所有项乘以另一个多项式中的所有项,然后将结果加起来。这种方法被称为 FOIL 方法。它代表 First Outer Inner Last。例如

可以分解为

将第一项乘在一起。

然后将外侧项乘在一起。

然后将内侧项乘在一起。

然后将最后一项乘在一起。

然后我们将结果加在一起,得到 ,以降幂排列。

随着你对这个过程越来越熟练,你就能一步到位完成整个乘法,而无需将其分解,例如这样

乘法表

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有些人发现用表格来展示这个很有帮助,一个多项式作为行,另一个作为列。

然后将标题相乘,得到

答案是所有单元格的总和

,与之前一样。这种方法对于乘以更长的多项式特别有用,因为答案可能不适合放在一行上,并会导致错误。

长乘法

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要乘的多项式也可以像普通长乘法一样排列,如下所示

这是第一行乘以
这是第一行乘以
这是两个答案的总和

多项式除法可以像普通长除法一样进行。但是,你需要非常熟练地进行多项式的加、减、乘运算才能进行除法。

例如,要将除以,可以这样写

1. 用除数中最高项除被除数的第一项。将结果放在线上面(x3 ÷ x = x2)。

2. 将除数乘以刚得到的商的第一项(最终商的第一项)。将结果写在被除数的前两项下方(x2 * (x-3) = x3 - 3x2)。

3. 从原始被除数的对应项中减去刚得到的乘积,并将结果写在下方。这有时可能很棘手,因为符号问题。((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2)然后,将被除数的下一项“拉下来”。

4. 重复最后三步,但这次使用刚写下的两项作为被除数。

5. 重复步骤 4。这次,没有要“拉下来”的项。

横线上面的多项式是你的答案,剩下的数 (-123) 是余数。

余数

多项式的曲线

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可以通过观察多项式来了解其曲线的一般形状。 最重要的因素是多项式的次数以及最高次项系数的符号。 为了更准确地绘制图形,您需要知道曲线在何处有**转折点**以及它与轴和轴的交点。 具有此信息的草图通常足够详细,并且通常比逐点绘制曲线快得多且容易得多。

转折点

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转折点是曲线从递减变为递增或反之的点。 在图形上,曲线只是改变方向,因此得名转折点。 在中,转折点位于 (0,0),即“桶”的底部。 的转折点是**最小值**(复数**最小值**),而**最大值**(复数**最大值**)是相同的桶形,但倒置。 对于次数为的多项式,其曲线最多有 个转折点。

取极值时的行为

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取很大的正值和负值时,多项式会发生什么变化?

如果我们将 作为我们的很大的数字,我们可以将其代入,我们可以看看会发生什么

首先对于

现在对于 :

最终答案变化最大的是 项。这是**主导项**。对于一个 次的多项式,当 时, 是主导项。

当您研究了 的极值情况下多项式的行为后,您可能会注意到,如果 是偶数,它将与 共享相同的总体形状,如果 是奇数,它将与 共享相同的总体形状。

如果 的系数为正,则具有偶数 值的曲线将呈桶状,而具有奇数 值的曲线通常在 为负时为负,在 为正时为正(类似于 )。

如果 的系数为负数,则当 为偶数时,曲线将呈现倒置的桶形;当 为奇数时,曲线在 为负数时通常为正数,在 为正数时通常为负数(类似于 )。

与坐标轴的交点

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要找到曲线与 轴的交点,只需查看常数项。例如, 将与 轴在 处相交。如果不存在常数项,则曲线将穿过原点(0,0),因此将与 轴在 处相交。

事实上,在因式分解的形式下,你可以找到曲线与 轴的交点。 将与 轴相交于 , , 和 ,因为通过使其中一个括号等于 ,它使得整个多项式等于 ,而 等于 当然就是 轴。曲线与 轴的每个交点都是该方程的 **根**。一个 n 次多项式 **最多** 有 个根。

**求解** 一个方程意味着找到所有根。二次多项式可以通过 二次公式 求解。对于更高次的多项式,你可能需要像上面一样对方程进行因式分解,逐点绘制图形,并观察曲线与 轴的交点,或者使用 数值方法。你可以通过将答案代入原始方程,并观察结果是否为 来检查答案。

二次表达式

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二次表达式是一个 2 次多项式,其形式为

图形

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二次函数图形可以写成 的形式。 的图形如右图所示,你可以看到它具有所有二次函数都具有的特征性“桶”形,称为 **抛物线**。 **顶点** 是最大或最小点。对称轴是将图形分成两个镜像部分的直线。它可以通过公式 找到。

然而,这些性质更容易从它的完全平方形式)推断出来。在这个形式中,我们知道,- d 是对称轴,而 e 是最大值或最小值点。如果 a 大于 0,则顶点 (-d,e) 将是一个最小值点。如果 a 小于 0,则顶点 (-d,e) 将是一个最大值点。

配方法

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配方法是将一个二次方程从 的形式转换为等效形式 的过程,其中 a、d 和 e 是常数。例如,二次方程 将变成

将二次方程转换为完全平方形式,可以很容易地找到一些东西,例如二次方程的根和二次方程的顶点,甚至不需要绘制图形。

以下是配方法的步骤。别担心,它看起来比实际更容易。

步骤 操作 示例 一般情况
1. 确保二次方程处于常规形式:
2. 除非 ,"提取/分解 a",即用 除整个二次方程并将其放在括号外。

注意:如果二次方程是方程的一部分,你可以在两边除以 ,例如 只需变成

3. 替换 部分。

重要的是要意识到,这与之前的结果很接近,但不相等。这将在下一步中得到修正。为了避免写出实际上不相等的东西,一个好方法是在你熟悉了这种方法之后,在你操作过程中一次性完成这两个步骤。

4. 通过插入一个合适的数字来修正之前步骤中引入的错误。这个合适的数字可以通过两种方法找到
  1. 展开之前步骤中插入的项,并将其与原始表达式进行比较;
  2. 记住错误始终是

这一步被称为“配方法”,也是该方法名称的由来。

  1. 大3,所以插入
  2. ,所以错误是4:
5. 如果步骤2是必要的,那么通过展开外层括号来稍微简化结果。然后你就完成了。
6. 检查你得到的结果是否能够展开回你最初的表达式。

注意:你可能对自己足够自信,可以跳过这一步。

因此, 的完全平方形式为 告诉我们曲线的最低点在 ,而 告诉我们对称轴在 。因此,顶点位于 ,如果你看一下图形,你会发现情况确实如此。

二次方程

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二次方程是从配方法的一般情况推导出来的

它可用于通过将数字直接代入二次方程来找到其根。例如,对于

所以 。方程式的因式是

以下是求根公式如何从配方推导出来的。

步骤 操作 示例 一般情况
1. 要解形如 的方程,首先使用上述方法配方。
2. 项分离出来。

3. 对等式两边开平方,包括一个 ,因为括号里的内容可能是负数也可能是正数。

然后进行一些简化

4. 单独隔离。

判别式

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注意,二次方程包含 在平方根符号内。这部分称为判别式,可以单独考虑以确定方程根的数量。

  • 如果 ,则你将无法找到平方根,因为你不知道如何求负数的平方根。你迄今为止遇到的数字类型被称为实数,因此可以说该二次方程具有 **无实根**。
  • 如果 ,则改变平方根前的 符号不会有任何影响,因为无论如何它都是零。因此,你将得到相同的根两次,因此可以说该二次方程具有 **一个重复根**。
  • 如果 ,则 将意味着你得到两个答案,因此可以说该二次方程具有 **两个不同的** (即不同的) **根**。

这是 C1(核心数学 1)模块的一部分,属于 A-level 数学 文本。

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