A-level 数学/OCR/FP1/复数

虚数

在理解复数之前，我们需要了解虚数单位 i。i 出现在需要计算负数的平方根时。

考虑方程 $x^{2}=-1$。从这个方程可以看出

$x={\sqrt {-1}}$

所有的逻辑都告诉你，你不能将任何东西乘以它本身并得到一个负数，这是真的。所以我们将它赋予一个 i 的值。

$i={\sqrt {-1}}$

从这个式子我们可以看到

$i^{2}=-1$

从这里我们可以推导出

$i^{3}=-i$

由于 $i^{3}=i^{2}\cdot i^{1}$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

因此，$-1\cdot i=-i$

最后

有用提示！
在处理 $i$ 的幂时，有些人发现成对处理 $i$ 有用。例如，将 $i^{4}$ 看作 $i^{2}\cdot i^{2}$。

$i^{4}=1$

因为 -1 的平方等于 1。

有了这个，我们有了一个非常有用的工具，现在可以进行负数的平方根了。

复数的简单运算

复数是由一个实数和一个虚数组成的数字。它们的形式为 $x+yi$。（其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$ 是虚数单位）。

复数的加法与你想象的一样。例如，两个复数 (2+3i) 和 (3+4i) 的加法，就是将实部相加 (在本例中：2 + 3 = 5) 和虚部相加 (3i + 4i = 7i)，最终得到复数 (5 + 7i)。

减法也是一样的。以我们的例子复数 (2+3i) 和 (3+4i) 为例，我们只需要将实部相减 (2 - 3 = -1) 和虚部相减 (3i - 4i = -i)，即可得到新的复数 (-1-i)。

乘法就像展开二次方程和三次方程一样。简单来说，你只需要将两个复数并排写，然后进行展开乘法。以我们的例子复数为例，我们将进行以下操作

$(2+3i)(3+4i)=(2\cdot 3)+(2\cdot 4i)+(3i\cdot 3)+(3i\cdot 4i)=6+8i+9i+12i^{2}=12i^{2}+17i+6$

实际上，你可以将 $i$ 看作是二次方程中的 $x$，并用相同的方式进行处理，然后用 $-1$ 代替 $i^{2}$，用 $-i$ 代替 $i^{3}$，用 $1$ 代替 $i^{4}$。

阿根图

复数的模是指连接阿根图原点和代表该复数的点的线段的长度，它由以下公式给出：

$|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

其中 $z=x+yi$。

复数的辐角是指复数点相对于实轴 (x轴) 的角度 (以弧度为单位)，从实轴逆时针方向测量。复数 z 的辐角，记为 arg(z)，由以下公式给出：

$\theta =\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)$

如果复数位于第一象限。

在阿根图上表示复数时，我们可以看到

$\sin(\theta )={\frac {y}{r}}$

$y=r\sin(\theta )$

同样

$x=r\cos(\theta )$

由于复数 z 可以用 x+iy 表示，

$z=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta )$

$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$

复数可以用直角坐标或极坐标表示。极坐标形式为

$z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))$

其中$r$ 是 $|z|$，而 $\theta$ 是 z 的辐角。

复数的极坐标形式与我们表示向量的形式非常相似。因此，复数的模类似于 x 和 y 分量的合向量，辐角是合向量的方向。

欧拉公式是

$e^{\theta i}=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$

将此代入复数的极坐标形式，我们可以看到，另一种写复数 z 的方法是

$|z|e^{i\arg(z)}$

共轭复数和方程

共轭复数只是 Argand 图中坐标的反射。它们关于实轴反射，因此只有虚部坐标发生变化（例如，从 2 + 2i 变为 2 - 2i）。换句话说，虚部的符号发生变化（从负变为正或从正变为负）。

共轭复数在除复数时很有用，因为可以通过将分数的分子和分母乘以分母的共轭复数来使分母变为实数，例如：${\frac {2+4i}{1+i}}={\frac {(2+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}}={\frac {2+2i+4}{1+1}}={\frac {6+2i}{2}}=3+i$

这被称为对分母进行“化实”（类似于实数的“有理化”）。

共轭复数在解具有实系数的方程时也很有用。如果这样的方程有一个复根，那么这个复数的共轭复数也将是该方程的根，这使得您在大多数情况下能够完全分解考试中的方程。

如果一个多项式具有实系数，并且任何一个根是复数，那么这些复数根将以共轭对的形式出现。

示例：已知$-1+2i$ 是方程$x^{3}+4x^{2}+9x+10=0$ 的一个解，求该方程的其他根。

我们自动知道另一个根是$-1-2i$（因为以上多项式的系数都是实数），因此我们可以开始形成该方程的因式分解

$x^{3}+4x^{2}+9x+10=(x-b)(x-(-1+2i))(x-(-1-2i))$ .

$=(x-b)(x^{2}+x+2xi+x+1+2i-2xi-2i-4i^{2})$

$=(x-b)(x^{2}+2x+5)$

$=x^{3}+2x^{2}+5x-bx^{2}-2bx-5b$

$=x^{3}+(2-b)x^{2}+(5-2b)x-5b$

$\Rightarrow {\begin{cases}(2-b)=4\\(5-2b)=9\\-5b=10\end{cases}}$

$\Rightarrow b=-2$

现在我们已经了解了复数，可以开始求解判别式为负数的二次方程（即在笛卡尔坐标系中不与x轴相交或相切的二次方程）。

示例： 求解方程 $x^{2}-2x+5=0$ .

由于 $b^{2}-4ac=-16$ 我们知道该方程没有实数根。使用二次方程公式

$x={\frac {2\pm {\sqrt {-16}}}{2}}$

$\Rightarrow x={\frac {2\pm 4i}{2}}$

$\Rightarrow x=1\pm 2i$

复数的平方根

每个复数都有两个复数平方根。为了找到一般复数 x+yi 的平方根，我们将答案表示为 p+iq 并使之相等

$(p+qi)^{2}=x+yi$

$p^{2}+2ipq-q^{2}=x+yi$

由于 x 是等式右边唯一的实数项，它必须等于 $p^{2}-q^{2}$ ，这是等式左边 的实数项。同样，y 必须等于 2pq。这是一条普遍规则

如果两个复数 p+qi 和 r+si 相等，当且仅当 $p=r$ 且 $q=s$.

如果我们试图找到 2+4i 的平方根，我们将得到

$p^{2}-q^{2}=2$

$2pq=4$

$\Rightarrow p={\frac {4}{2q}}$

代入

$\left({\frac {4}{2q}}\right)^{2}-q^{2}=2$

$\Rightarrow {\frac {16}{4q^{2}}}-q^{2}=2$

乘以$4q^{2}$ 

$16-4q^{4}=8q^{2}$

$\Rightarrow 4q^{4}+8q^{2}-16=0$

$\Rightarrow q^{4}+2q^{2}-4=0$

用u替换q²

$u^{2}+2u-4=0$

使用二次方程公式

$u={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4\cdot 1(-4)}}}{2}}$

$\Rightarrow u={\frac {-2\pm {\sqrt {20}}}{2}}$

由于q是实数，它必须等于u的正值的平方根

$q={\sqrt {\frac {-2+{\sqrt {20}}}{2}}}={\sqrt {-1+{\frac {2{\sqrt {5}}}{2}}}}=\pm {\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$

如果$q={\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$ 那么

$p={\frac {4}{2{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}={\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}$

如果$q=-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}$ 那么

$p={\frac {4}{2\cdot \left(-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)}}=-{\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}$

因此 p+qi 为

${\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\ ,\ -{\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\ \Rightarrow \ p+qi=\pm \left({\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}\right)i\right)$

这是FP1（高等纯数学 1）模块的一部分，属于A-level 数学课本。