A-level 数学/OCR/FP1/数学归纳法

数学归纳法证明 是一种演绎推理方法，可以产生完全严格的数学证明

• 步骤 1 证明结果对起始值成立，例如 $n=1$。这称为基本情况。
• 步骤 2 假设结果对某个值成立，$k$
• 步骤 3 证明如果结果对 $n=k$ 成立，它对 $n=k+1$ 也成立。
• 步骤 4 总结命题对所有正整数都成立。

由于我们已经证明了结果对一般值 $k$ 成立，那么如果我们证明它对下一个值 $k+1$ 成立，我们可以合乎逻辑地得出结论，它将对下一个值，下一个值，以及下一个值等等无限地成立。

一个例子

证明序列： $1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

步骤 1： 当 $n=1$ : LHS = $1$ ，RHS = ${\frac {1(1\cdot 2)}{2}}=1$ 。因此，我们已经证明了假设对一个值成立…

步骤 2： 现在令 $n=k$ ，并证明这一点。

让我们使用符号 $s$ 来表示级数 $1+2+3+\cdots +(k-2)+(k-1)+k$

然而，$s$ 也表示 $k+(k-1)+(k-2)+\cdots +3+2+1$ （这与同一个级数相同，但顺序不同）

如果我们将这两个级数加在一起，我们得到

$2s=(k+1)+(k+1)+(k+1)+\cdots +(k+1)+(k+1)+(k+1)=k(k+1)$

$s={\frac {k(k+1)}{2}}$

步骤 3： 现在令 $n=k+1$

$1+2+3+\cdots +k+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}$

但是，上面一行中*斜体*的部分已经是已知的。因此

$s+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}$

${\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}$

当我们展开等式左侧时，我们得到

${\frac {k^{2}}{2}}+{\frac {3k}{2}}+1={\frac {k^{2}+3k+2}{2}}={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}$

步骤 4 等式左侧等于右侧，因此我们可以得出结论，根据数学归纳法的原理，由于它对 $n=1$ 成立，并且如果它对 $n=k$ 成立，那么它对 $n=k+1$ 成立，它对任何正整数都成立。

另一个例子

证明序列： $\sum {r^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

步骤 1

证明当 $n=1$ 时成立

$1^{2}={\frac {1(1+1)(2+1)}{6}}$

$1={\frac {6}{6}}$

LHS = RHS 因此成立

步骤 2

假设当 $n=k$ 时成立

$1+4+9+\cdots +k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$

步骤 3

证明当 $n=k+1$ 时成立

$1+4+9+\cdots +k^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}}$

我们假设 $1+4+9+\cdots +k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$ 是正确的。因此，我们现在可以假设 ${\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}={\frac {k(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}}$

也将是正确的。但是这次我们需要证明它。这一部分可能会让人困惑，但我们所要做的就是重新排列等式的两边，这样我们就可以看到它们是相等的。

${\frac {(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}}={\frac {(k+1)((k+1+1)(2(k+1)+1))}{6}}$ (左侧：提取了 ${\tfrac {k+1}{6}}$ ) (右侧：无)

${\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+7)}{6}}={\frac {(k+1)((k+2)(2k+3))}{6}}$ (左侧：展开括号) (右侧：简化括号)

${\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}={\frac {(k+1)((k+2)(2k+3))}{6}}$ (左侧：分解括号) (右侧：无)

右侧 = 左侧，因此正确

这是 FP1 (A-level 数学 的进一步纯粹数学 1 模块) 的一部分。