A-level 数学/OCR/FP1/矩阵

矩阵是一个以标准形式呈现的数字（元素）数组，例如以下所示。如果您想在一个代数表达式中使用它，通常使用大写字母作为标识符。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}$

矩阵的阶数是行数乘以列数，例如上面矩阵的阶数是 $[2\times 3]$ （读作二乘三）。

直观地说，如果矩阵的行数和列数相同，则称该矩阵为方阵，我们也可以说列矩阵是指只有一列的矩阵，行矩阵是指只有一行的矩阵。

操作

矩阵加法

矩阵加法与您期望的一样：取第一个矩阵中的一个数字，并将其加到第二个矩阵中对应位置的数字上，并将结果放在第三个矩阵中的相同位置。这有一个明显的限制，即只有阶数相同的矩阵才能加在一起。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}11&12&4\\1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&14&7\\8&11&14\end{pmatrix}}$

矩阵减法

矩阵减法也与您期望的一样，与矩阵加法正好相反（见上文）。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}11&12&4\\1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10&-10&-1\\6&5&4\end{pmatrix}}$

矩阵乘法

不幸的是，矩阵乘法不像您期望的那样。定义矩阵乘法的最简单方法是给出代数形式的示例。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}$

如上所述，要找到结果矩阵中每个元素的值，您需要将第一个矩阵中的行与第二个矩阵中的列相乘，然后将结果相加。因此，矩阵只有在符合条件时才能相乘——也就是说，第二个矩阵的行数必须与第一个矩阵的列数相同。一个简单的经验规则是，如果您有一个 $[axb]$ 阶矩阵，您可以将其乘以一个 $[bxc]$ 矩阵，得到一个 $[axc]$ 矩阵。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+18+33&8+20+36\\28+45+66&32+50+72\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}}$

矩阵相乘的另一个主要问题是，它通常不满足交换律。这意味着 $\mathbf {AB} \not =\mathbf {BA}$ 。这与我们直觉相悖，因为实数之间的乘法并非如此。例如，如果我们将上述两个矩阵反过来相乘，我们会得到一个不同的矩阵。

${\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7+32&14+40&21+48\\9+40&18+50&27+60\\11+48&22+60&33+72\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}39&54&69\\49&68&87\\59&82&105\end{pmatrix}}$

当然，也存在满足交换律的矩阵。例如，取单位矩阵 $\mathbf {I}$ 与任何其他同维度的方矩阵的乘积，它们显然满足交换律。

用一个标量乘以矩阵比较容易；您只需将该数字乘以矩阵中的每个元素即可。例如

$3{\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}21&24\\27&30\\33&36\end{pmatrix}}$

矩阵的除法

矩阵的除法没有定义。但是，我们可以乘以逆矩阵来达到相同的结果。请参阅下方关于如何找到矩阵的逆的内容。

单位矩阵

单位矩阵是与另一个矩阵相乘时会返回该矩阵的矩阵——换句话说，它相当于实数 1。由于这只能在方矩阵上发生，因此单位矩阵是一个方矩阵，除了从左上角到右下角的斜线为 1 之外，其他所有元素都为 0。三阶单位矩阵，称为 $\mathbf {I_{3}}$ ，因此为

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

零矩阵

零矩阵 或 零矩阵 用 $\mathbf {O}$ 表示，它只是一个完全由零填充的矩阵。

以下两个矩阵都被称为 $\mathbf {O}$ 。

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

自然地，对于任何矩阵 M，

$\mathbf {O} {M}=\mathbf {M} {O}=\mathbf {O}$ 并且 $\mathbf {O} +\mathbf {M} =\mathbf {M}$

逆矩阵

如果你有两个矩阵，使得 $\mathbf {AB} =\mathbf {I}$ ，那么你可以认为 A 等于 ${\frac {I}{B}}$ ，这类似于 $A={\frac {1}{B}}$ 。但是，由于我们没有专门定义矩阵的除法，我们必须始终使用符号 B⁻¹ 而不是 1/B。所以我们有

$\mathbf {A} =\mathbf {B^{-1}I} =\mathbf {B^{-1}}$

一个矩阵 X⁻¹ 被称为矩阵 X 的逆矩阵 - 如果将这两个矩阵相乘，你将得到单位矩阵。

2x2 矩阵

逆

对于二维矩阵，求逆的过程非常简单

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

这意味着并非所有方阵都有逆矩阵，因为如果 $ad-bc$ 为零，则逆矩阵将是未定义的。一个没有逆矩阵的矩阵被称为奇异矩阵。

上面的公式如下推导

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}ae+bg=1\\af+bh=0\\ce+dg=0\\cf+dh=1\end{cases}}$

$e={\tfrac {d}{ad-bc}}$

$f={\tfrac {-b}{ad-bc}}$

$g={\tfrac {-c}{ad-bc}}$

$h={\tfrac {a}{ad-bc}}$

提取公因子 ${\tfrac {1}{ad-bc}}$ ，得到

${\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

行列式

等式中的这部分 ( $ad-bc$ ) 被称为矩阵的行列式，还有很多其他应用，我们将在后面详细介绍。它可以用多种不同的方式表示，包括

$det(\mathbf {M} )=|\mathbf {M} |={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

转置

对于矩阵 $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ，其转置表示为 $M^{T}$ ，等于 ${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}$

3x3 矩阵

对于 3x3 及以上的矩阵，求行列式和逆矩阵的过程要复杂得多。我们以以下示例矩阵为例

${\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}$

行列式

1. 从矩阵中选择任意一行或一列。在本例中，我们将选择最后一行。

2. 取该行中的第一个元素，并想象删除它所在的列和行。这将留下一个子矩阵

{\begin{pmatrix}-1&3\\-1&4\end{pmatrix}}

3. 找到该子矩阵的行列式，如上所述。在我们的例子中，子矩阵的行列式为

(-1*4)-(3*-1)=-4-(-3)=-1

4. 我们现在对所选行中的第二个和第三个元素重复步骤 2 和 3

删除第 3 行和第 2 列，我们得到子矩阵

{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}

行列式为 -2。

删除第 3 行和第 3 列，我们得到

{\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}

它的行列式为 1。

5. 现在我们必须改变其中一些行列式的符号，以便获得称为原始矩阵**余因子**的值。为此，我们回忆以下矩阵

{\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}}

这告诉我们，如果我们在步骤 1 中选择了第一行或最后一行，我们将保留我们找到的第一个行列式的符号；我们将颠倒第二个行列式的符号；我们将保留最后一个行列式的符号。我们的三个行列式分别为 -1、-2 和 1。因此，余因子分别为 -1、2 和 1。

6. 余因子 -1 来自于左下角的元素 2；余因子 2 来自于底部的元素 2；余因子 1 来自于右下角的元素 1。我们现在要做的是将每个余因子乘以我们得到它的元素，并将结果加起来

(-1*2)+(2*2)+(1*1)=-2+4+1=3

7. 行列式为 3。

逆

要找到 3x3 矩阵的逆矩阵，我们首先按照上面的方法找到矩阵中所有元素的余因子。

重申一下，对于矩阵的每个元素

删除它所在的列和行，得到一个 2x2 子矩阵。
找到子矩阵的行列式。
根据需要改变它的符号。

改变符号的正式方法是将行列式乘以 -1^i+j，其中 i 是行号，j 是你选择的元素的列号。例如，对于左上角的元素，我们得到子矩阵

{\begin{pmatrix}-1&4\\2&1\end{pmatrix}}

该矩阵的行列式为 -9。行号为 1，列号为 1，因此我们进行 -9 x -1¹⁺¹ = -9 x 1 = -9。

找到所有余因子后，可以将它们放入一个 3x3 矩阵中。对于我们的示例矩阵，我们得到

{\begin{pmatrix}-9&6&6\\7&-5&-4\\-1&2&1\end{pmatrix}}

4. 要检查是否得到了正确的余因子矩阵，可以取任意一行或一列，将其中的每个元素乘以原始矩阵中相应的元素，并将这些元素加起来；无论选择哪一行或哪一列，你都应该得到行列式。余因子矩阵的另一个属性是，如果你将一行/列中的每个元素乘以另一行/列中相应的元素，并将这些数字加起来，结果将为零。

5. 这对我们很有用，因为请记住，如果我们将原始矩阵乘以它的逆矩阵，我们将得到单位矩阵。如果我们转置余因子矩阵，则行将变为列，列将变为行

{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}

注意每个元素移动到了哪里。

由此得到的矩阵被称为原始矩阵的**伴随矩阵**。如果我们将这个矩阵乘以原始矩阵，注意我们得到了什么

{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix}}

正如你所见，当我们用矩阵乘法将第一行乘以第一列时，我们所做的与我们将伴随矩阵的第一列乘以原始矩阵的第一列时所做的相同——请记住，我们得到了行列式。当我们将伴随矩阵的第一行乘以原始矩阵的第二列时，我们所做的与我们将伴随矩阵的第一列乘以原始矩阵的第二列时所做的相同——也就是说，乘以一个“外来”列。与之前一样，我们得到零。

回想一下，如果我们将矩阵的逆矩阵乘以该矩阵，我们应该得到单位矩阵。到目前为止，我们得到了一个类似于单位矩阵但大小是其3倍的矩阵——也就是说，比单位矩阵大一个行列式因子的倍数。所以现在我们可以很容易地完成这个过程，并得到逆矩阵。

6. 原始矩阵的逆矩阵是伴随矩阵乘以行列式的逆矩阵。在我们的例子中，这是

{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}

将行列式的逆矩阵放在矩阵之外是更常见的做法，因为如果我们进行乘法，就会显得不那么优雅

{\begin{pmatrix}-3&{\frac {7}{3}}&{\frac {-1}{3}}\\2&{\frac {-5}{3}}&{\frac {2}{3}}\\2&{\frac {-4}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}

解方程组

假设你被要求解以下联立方程。

$x-y+3z=11$

$2x-y+4z=24$

$2x+2y+z=39$

我们可以将变量系数放在一个矩阵中，并将问题表示为

${\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&-1&4\\2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

如果我们将系数矩阵称为M，变量矩阵称为X，那么我们可以说

$\mathbf {MX} ={\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

对X进行重新排列

$\mathbf {X} =\mathbf {M^{-1}} {\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}$

我们可以使用上一节中找到的逆矩阵来解这些方程

$\mathbf {X} ={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-9&7&-1\\6&-5&2\\6&-4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\24\\39\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\8\\3\end{pmatrix}}$

如果系数矩阵的行列式为零，则该矩阵没有逆矩阵，原因很明显；如果行列式为零，则该矩阵被称为 **奇异** 矩阵。在这种情况下，方程没有 *唯一* 解 - 也就是说，可能存在多个解，也可能根本没有解。（如果存在解或存在多个解，则该系统被称为 **一致** 的。）

矩阵作为变换

矩阵表示线性变换。对于每个线性变换，都存在一个唯一的等效矩阵，每个矩阵都表示一个唯一的线性变换。为了确定特定变换的矩阵，请形成并求解一个等式，如下例所示

要找到对应于 x 轴反射的矩阵，点 (x, y) 将变换为 (x, -y)，因此

$M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}$

其中 M 是我们要找到的矩阵。假设我们正在处理二维平面，则 M 必须具有以下形式： ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ，因此

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}\Rightarrow {\begin{cases}ax+by=x\\cx+dy=-y\end{cases}}$

由于我们希望这适用于所有点 (x, y)，因此 x 和 y 必须彼此独立。这意味着 b 和 c 都必须为 0，因此我们得到

${\begin{cases}ax=x\\dy=-y\end{cases}}$

a = 1 且 d = -1，因此 x 轴反射的矩阵为

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

另一种方法如下

找到点 (1, 0) 的变换。在本例中，(1, 0) 在 x 轴上的反射只是 (1, 0)。将此点称为 (x₁, y₁)。
找到点 (0, 1) 的变换。在本例中，它是 (0, -1)。我们将此点称为 (x₂, y₂)。
您要查找的矩阵为

{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}}

不变性

不变点是指在变换下保持不变的点，即

M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

一些变换矩阵只有一个不变点，而有些则有一条不变点线。需要注意的是，在单位矩阵下，所有点都是不变的，而点 (0,0) 在所有变换矩阵下都是不变的。

不变点线是指，对于一个特定的矩阵，直线上所有的点都是不变的，例如：

求变换 ${\begin{pmatrix}6&5\\2&3\end{pmatrix}}$ 的不变点线的方程。

对于点 (x,y) 来说，要使其不变，必须满足

{\begin{pmatrix}6&5\\2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

\Rightarrow {\begin{cases}x=6x+5y\\y=2x+3y\end{cases}}

\Rightarrow {\begin{cases}5x+5y=0\\2x+2y=0\end{cases}}

由于这两个方程是相同的，所以一定存在一条不变点线

\Rightarrow y=-x

这表明，如果 y 等于 -x，那么点 (x,y) 将是不变的，所以直线 $y=-x$ 上的任何点都是不变点。

还可以存在一条在变换下保持不变的直线，但直线上的点可能改变位置，即，直线上某个点的任何点在变换后仍然会保持在同一条直线上，即使点本身发生了改变。例如：在表示沿 y 轴反射的矩阵下，任何水平线都会保持不变，但线上的点不会，即 (1,0) 会映射到 (-1,0)，但这两个点都仍然在直线 y = 0 上。

可以这样找到不变线