A-level 数学/OCR/FP1/多项式方程的根

在本模块中，我们将讨论对称多项式与其根之间的特殊关系。这种特性使找到对称多项式的根或将因子相乘变得更容易。

对称多项式

在数学中，如果将原始多项式的根交换任意两个根，多项式保持不变，则该多项式被认为是对称的。例如，多项式 $8x^{3}+16x^{2}-22x-30$ 是对称的，因为它的因式分解形式为 $(2x-3)(2x+2)(2x+5)$，如果您交换根，则结果多项式将相同。但是，多项式 $4x^{3}+12x^{2}-7x-30$ 不是对称的，因为它的因式分解形式为 $(2x-3)(x+2)(2x+5)$，如果您交换根，则结果多项式将为 $4x^{3}+18x^{2}-16x-30$，如果您将 2 和 5 交换。

二次多项式的根

如果我们需要找到给定二次函数的根，我们有两个公式可以帮助我们找到二次方程的根。

令 $\alpha \,$ 和 $\beta \,$ 为 $ax^{2}+bx+c=0\,$ 的根。那么，$\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\quad \alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

示例

如果 $\alpha +\beta =6\,$ 且 $\alpha \beta =-16\,$，求方程 $ax^{2}+bx-48\,$ 中 a 和 b 的值。

1. 首先我们需要找到 a 和 b 的值，我们使用根的关系来找到 a 和 b。
   1. $\alpha \beta =-16={\frac {-48}{a}}\,$ 从中我们可以确定 a = 3
   2. $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{a}}\,$
2. 现在我们已经确定 a = 3，我们可以将第二个关系式写成

   $\alpha +\beta =6=-{\frac {b}{3}}\,$ 因此我们可以确定 b = -18

3. 现在我们可以写出完整的方程式。

   $3x^{2}-18x-48\,$

三次方程的根

如果我们需要找到给定三次函数的根，我们可以使用三个公式来帮助我们找到三次方程的根。

设 $\alpha ,\beta \,$ 和 $\gamma \,$ 是 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ 的根。那么，$\sum \alpha =-{\frac {b}{a}},\quad \sum \alpha \beta ={\frac {c}{a}},\quad \alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}$

其中：$\sum \alpha =\alpha +\beta +\gamma$

以及：$\sum \alpha \beta =\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma$

示例

在这个例子中，我们考虑三次方程 $x^{3}+21x^{2}+cx+280=0$ 的特例，其中 c 待定，并且我们得到额外的信息，即它的 3 个根是算术级数。因此，我们可以将根写成 p，p + q，p - q 的形式。并对该方程进行因式分解。

1. 首先，为了找到 p，我们使用 $\sum \alpha$ 。

   $\sum \alpha =p+(p+q)+(p-q)=-{\frac {21}{1}}$

   $\sum \alpha =3p=-21$

   $p=-7\,$

2. 然后我们需要找到 q 的值。

   $-7(-7+q)(-7-q)=-{\frac {280}{1}}$

   $7q^{2}-343=-280\,$

   $7q^{2}=63\,$

   $q^{2}=9\,$

   $q=3\,$

3. 现在我们可以写出我们的根。

   (-7 - 3),-7,(-7 + 3)

   -10,-7,-4

4. 现在我们可以找到c。

   $\sum \alpha \beta =-7\times -4+-7\times -10+-10\times -4={\frac {c}{1}}$

   $138=c\,$

5. 完整的等式是 $x^{3}+21x^{2}+138x+280=0$
6. 最后我们写出因式分解后的方程。
7. $(x+7)(x+4)(x+10)=0\,$

简单根替换

如果将多项式方程中每个根增加n，可以通过将原始多项式方程中的每个x项替换为(x - n)来计算得到的结果方程。这会导致二项式展开，所以请确保你对它很熟悉。

示例

假设三次方程 $x^{3}+x^{2}-22x-40=0\,$ 的根是 $\alpha \,,\beta \,$ 和 $\gamma \,$。求一个根为 $\alpha -2\,,\beta -2$ 和 $\gamma -2\,$ 的三次方程

1. 如果 $x=\alpha -2$ 那么 $\alpha =x+2$。由于 $\alpha$ 是原始方程的根，所以可以将每个x项替换为x + 2

   $\left(x+2\right)^{3}+\left(x+2\right)^{2}-22\left(x+2\right)-40=0$

2. 利用二项式展开我们可以很容易地找到各项。

   $\left(x^{3}+6x^{2}+12x+8\right)+\left(x^{2}+4x+4\right)-22\left(x+2\right)-40=0$

3. 最后，我们将所有项合并，得到

1. $x^{3}+7x^{2}-6x-72\,$

这是FP1（进阶纯数学 1）模块中A-level 数学教材的一部分。