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级数求和

在 核心二 中，我们学习了算术级数和几何级数，但如果我们需要对一个很大的范围进行算术级数求和，这可能会非常耗时。有一些公式可以让我们计算出这个和。请注意，这些公式只适用于从 1 开始的级数；在下面的示例中，我们将看到如何计算从其他端点开始的级数求和。公式如下：

$\sum _{r=1}^{n}1=n$

$\sum _{r=1}^{n}r={\frac {1}{2}}n(n+1)$

$\sum _{r=1}^{n}r^{2}={\frac {1}{6}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$

$\sum _{r=1}^{n}r^{3}={\frac {1}{4}}n^{2}\left(n+1\right)^{2}$

我们还需要知道关于求和的这个一般结果：

$\sum _{r=1}^{n}ar^{b}=a\sum _{r=1}^{n}r^{b}$

你可以通过考虑展开形式来理解为什么这是正确的：

$(a\times 1^{b}+a\times 2^{b}+a\times 3^{b}+...+a\times n^{b})\equiv a(1^{b}+2^{b}+3^{b}+...+n^{b})$

示例

求级数 $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+4x^{2}+5x$ 的和。

1. 首先，我们需要将求和分解为三个独立的部分。

   $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+\sum _{x=3}^{10}4x^{2}+\sum _{x=3}^{10}5x$

2. 接下来，我们需要使它们从 1 开始。然后，我们需要减去求和中未包含的数字的总和。

   $\sum _{x=1}^{10}3x^{3}-\sum _{x=1}^{2}3x^{3}+\sum _{x=1}^{10}4x^{2}-\sum _{x=1}^{2}4x^{2}+\sum _{x=1}^{10}5x-\sum _{x=1}^{2}5x$

3. 现在，我们使用恒等式来计算各个总和。请记住要包含系数。

   $3\left[{\frac {1}{4}}10^{2}\left(10+1\right)^{2}-{\frac {1}{4}}2^{2}\left(2+1\right)^{2}\right]+4\left[{\frac {1}{6}}10\left(2\times 10+1\right)\left(10+1\right)-{\frac {1}{6}}2\left(2\times 2+1\right)\left(2+1\right)\right]$ $+5\left[{\frac {1}{2}}10(10+1)-{\frac {1}{2}}2(2+1)\right]$

4. 现在我们需要进行大量的算术运算。这可以通过手工完成，也可以使用计算器。

   ${\frac {3}{4}}\left(100\times 121-4\times 9\right)+4{\frac {1}{6}}\left(10\times 21\times 11-10\times 3\right)$ $+{\frac {5}{2}}\left(10\times 11-2\times 3\right)$

   $={\frac {3}{4}}\left(12100-36\right)+{\frac {2}{3}}\left(2310-30\right)+{\frac {5}{2}}\left(110-6\right)$

   $=10828\,$

5. 级数 $\sum _{x=3}^{10}3x^{3}+4x^{2}+5x=10828$ 的和。

这是 FP1 （进阶纯数学 1）模块的一部分，属于 A-level 数学 课本。