抽象代数/群论/群/双重逆

定理

设G为任意群，其运算为$\ast$.

$\forall \;g\in G:[g^{-1}]^{-1}=g$

在群G中，任何元素g的逆元的逆元是g。

证明

0. 选择${\color {OliveGreen}g}\in G$
1. $\exists \;{\color {BrickRed}g^{-1}}\in G:{\color {OliveGreen}g}\ast {\color {BrickRed}g^{-1}}={\color {BrickRed}g^{-1}}\ast {\color {OliveGreen}g}=e_{G}$	在G中g的逆元的定义 (使用 1,3)
2. ${\color {OliveGreen}g}\ast {\color {BrickRed}a}={\color {BrickRed}a}\ast {\color {OliveGreen}g}=e_{G}$	设 a = g−1
3. ${\color {BrickRed}a}\ast {\color {OliveGreen}g}={\color {OliveGreen}g}\ast {\color {BrickRed}a}=e_{G}$
4. $[{\color {BrickRed}a}]^{-1}={\color {OliveGreen}g}$	在G中a的逆元的定义 (使用 2)
5. $[{\color {BrickRed}g^{-1}}]^{-1}={\color {OliveGreen}g}$	由于 a = g−1

图表

1. 实心圆的逆元是空心圆。

2. 空心圆的逆元是实心圆，根据 1。