抽象代数/群论/群/群的定义

群的定义

首先，群是

一个非空集合，具有二元运算。

其次，如果 G 是一个群，群 G 的二元运算为 $\ast$，则

1. 封闭性

$\forall \;a,b\in G:a\ast b\in G$

2. 结合性

$\forall \;a,b,c\in G:(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$

3. 单位元

$\exists \;e_{G}\in G:\forall \;g\in G:e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$

4. 逆元

$\forall \;g\in G:\exists \;g^{-1}\in G:g\ast g^{-1}=g^{-1}\ast g=e_{G}$

从现在开始，e_G始终表示群 G 的单位元。

群的阶

群 G 的阶，o(G)，是 G 中不同元素的数量

图示

封闭性: 如果 a、b 属于群 G，则 a*b 属于 G

结合性: (a*b)*c = a*(b*c) 如果 a、b、c 属于群 G

单位元: 1. 群 G 具有单位元 eG。 2. 如果 c 属于群 G，则 eG*c = c*eG = c

逆元: 1. 如果 c 属于 G，则 c-1 属于 G。 2. c*c-1 = c-1*c = eG