抽象代数/群论/群/单位元唯一性

定理

每个群只有一个单位元

证明

0. 令 G 为任意群。 则 G 具有一个单位元，假设为e₁。

1. 假设 G 具有一个不同 的单位元 e₂

由于e1 是 G 的单位元 (用法 1)，	由于e2 是 G 的单位元 (用法 1)，
2a. ${\color {blue}e_{1}}\in G$	2b. ${\color {OliveGreen}e_{2}}\in G$
e2 是 G 的单位元 (用法 3)，	由于e1 是 G 的单位元 (用法 3)，
3a. $\forall \;g\in G:g\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}=g$	3b. $\forall \;g\in G:{\color {Blue}e_{1}}\ast g=g$
由 2a. 和 3a.，	由 2b. 和 3b.，
4a. ${\color {blue}e_{1}}\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}={\color {blue}e_{1}}$	4b. ${\color {blue}e_{1}}\ast {\color {OliveGreen}e_{2}}={\color {OliveGreen}e_{2}}$

由 4a. 和 4b.，

5. ${\color {blue}e_{1}}={\color {OliveGreen}e_{2}}$，与 1. 矛盾。

由于正确的假设不能导致错误或矛盾的结论，因此我们的假设 (1.) 是错误的，并且群的单位元是唯一的。

图表

1. 假设一个群有两个单位元。

2. e1 * e2 = e1 由于 e2 是 G 的单位元， 并且 e1 属于 G。

3. e1 * e2 = e2 由于 e1 是 G 的单位元， 并且 e2 属于 G

4. 这两个单位元是相同的。

5. 群只有一个单位元