抽象代数/群论/同态/同态映射逆到逆

定理

设f是从群G到群K的同态。

设g是G的任意元素。

f(g^-1) = [f(g)]^-1

证明

0.   $f({\color {Blue}g})\circledast f({\color {BrickRed}g^{-1}})=f({\color {Blue}g}\ast {\color {BrickRed}g^{-1}})$	f是同态
1.   $f({\color {Blue}g})\circledast f({\color {BrickRed}g^{-1}})=f({\color {Blue}e_{G}})$	G中逆的定义
.
2.   $f({\color {Blue}g})\circledast f({\color {BrickRed}g^{-1}})={\color {OliveGreen}e_{K}}$	同态f映射单位到单位
3.   ${\color {BrickRed}[}f({\color {Blue}g}){\color {BrickRed}]^{-1}}\circledast f({\color {Blue}g})\circledast f({\color {BrickRed}g^{-1}})={\color {BrickRed}[}f({\color {Blue}g}){\color {BrickRed}]^{-1}}\circledast {\color {OliveGreen}e_{K}}$	由于f(g)在K中，因此它的逆[f(g)]−1也在K中
.
4.   ${\color {OliveGreen}e_{K}}\circledast f({\color {BrickRed}g^{-1}})={\color {BrickRed}[}f({\color {Blue}g}){\color {BrickRed}]^{-1}}$	K上的逆，eK是K的单位
5.   $f({\color {BrickRed}g^{-1}})={\color {BrickRed}[}f({\color {Blue}g}){\color {BrickRed}]^{-1}}$	eK是K的单位