抽象代数/群论/子群/子群的交集是一个子群

定理

设 H₁, H₂, ... H_n 是群 G 的子群，运算为 $\ast$

$H_{1}\cap H_{2}\cap \cdots \cap H_{n}$ 对于 $\ast$ 是群 G 的子群

$\color {RawSienna}(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$

1. $H_{1}\subseteq G$	H1 是 G 的子群
2. $H_{2}\subseteq G$	H2 是 G 的子群
3. $(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$	1. 和 2.

$\color {RawSienna}H_{1}\cap H_{2}$ 对于 $\color {RawSienna}\ast$ 是一个群

封闭性

4. 选择 $x,y\in (H_{1}\cap H_{2})$
5. $x\ast y\in H_{1}$	封闭性 of H1
6. $x\ast y\in H_{2}$	闭包 的 H2
7. $x\ast y\in (H_{1}\cap H_{2})$	5. 和 6.

结合律

8. $\ast$ 是 G 上的结合律。	群 G 的运算为 $\ast$
9. $(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$	3.
10. $\ast$ 在 $(H_{1}\cap H_{2})$ 上是结合律	8. 和 9.

单位元

11. $e_{G}\in H_{1}$ 和 $e_{G}\in H_{2}$	子群 H1 和 H2 继承 G 的单位元
12. $\forall g\in G:e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$	eG 是 单位元 的 G,
13. $\forall \;g\in (H_{1}\cap H_{2}):e_{G}\ast g=g\ast e_{G}=g$	$(H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$ 和 9.
14. $(H_{1}\cap H_{2})$ 有单位元 eG	单位元定义

逆元

15. 选择 $g\in (H_{1}\cap H_{2})\subseteq G$
16. $g\in H_{1}$，$g\in H_{2}$，以及$g\in G$
17. gH1−1 在 H1 中，gH2−1 在 H2 中。	G、H1 和 H2 是群
18. $g_{H1}^{-1}\in G$	$H_{1}\subseteq G$
19. $g_{H1}^{-1}\ast g=g\ast g_{H1}^{-1}=e_{G}$	G 和 H1 共享单位元 e
20. gH1−1 是 g 在 G 中的逆元	19. 和逆元的定义
21. 令 gG−1 是 g 在 G 中的逆元
22. gG−1 = gH1−1	逆元是唯一的
22. gG−1 = gH2−1	与 21 相似。
23. $g^{-1}=g_{H1}^{-1}=g_{H2}^{-1}\in (H_{1}\cap H_{2})$
24. g 在$(H_{1}\cap H_{2})$ 中有逆元 g−1