抽象代数/群论/子群/子群继承单位元

定理

令 H 为群 G 的子群。令 $\ast$ 为 H 和 G 的 二元运算

H 和 G 共享单位元

证明

0. 令 eH, eG 分别为 H 和 G 的单位元。
1. ${\color {OliveGreen}e_{H}}\ast {\color {OliveGreen}e_{H}}={\color {OliveGreen}e_{H}}$	eH 是 H 的单位元 (应用 1, 3)
2. ${\color {OliveGreen}e_{H}}\in H$	eH 是 H 的单位元 (应用 1)
3. $H\subseteq G$	H 是 G 的子群
4. ${\color {OliveGreen}e_{H}}\in G$	2. 和 3.
5. ${\color {OliveGreen}e_{H}}\ast {\color {Blue}e_{G}}={\color {OliveGreen}e_{H}}$	4. 和 eG 是 G 的单位元 (应用 3)
6. ${\color {OliveGreen}e_{H}}\ast {\color {Blue}e_{G}}={\color {OliveGreen}e_{H}}\ast {\color {OliveGreen}e_{H}}$	1. 和 5.
7. ${\color {Blue}e_{G}}={\color {OliveGreen}e_{H}}$	群 G 上的消去律

应用

1. 如果 H 是群 G 的子群，则 G 的单位元是 H 的单位元。
2. 如果 H 是群 G 的子群，则 G 的单位元在 H 中。