抽象代数/多项式环

多项式的次数 $a_{0}+a_{1}X+...+a_{n}X^{n}$ 被定义为 $n$。如果 $R$ 是一个域，并且 $f$ 和 $g$ 是 $R[X]$ 中的多项式，那么我们可以用 $g$ 除 $f$ 以获得 $f=gq+r$。然而，如果 $g$ 的首项系数为 1，我们也可以对任何任意环进行此操作。

取实数 R 作为环，并添加两个不定元 X 和 Y。自由代数 R<X,Y> 在 R 上是包含 X、Y 和实数的和与积的集合。多项式环 R[X,Y] 是代数通过 XY=YX 简化后的结果，即两个不定元是可交换的。用商环的术语来说，以 XY−YX 生成的理想，R[X,Y] = R<X,Y>/(XY−YX)。多项式环在交换代数中至关重要，例如在下面讨论的双二元数和四元数中。

在非交换代数中，反交换性质 XY=−YX 在四元数中有所体现。所谓的“虚数单位”对应于不可约二项式 XX+1 和 YY+1。商代数 R<X,Y>/(XY+YX, XX+1, YY+1) 的元素像四元数一样相乘。

练习：这些商的常用名称是什么？

• 多项式商 R[X]/(XX−1)
• 自由代数商 R<X,Y>/(XY+YX, XX+1, YY−1)。

应用：双二元数 & 四元数

十九世纪提出了可交换的四维 超复数系统。詹姆斯·科克尔提出了四元数，而柯拉多·塞格雷提出了双复数，在 结合组合代数 的研究中称为 双二元数。这些系统的同构可以通过多项式环的商来证明

考虑多项式环 R[X,Y]，其中 XY = YX。理想 $A=(X^{2}+1,\ Y^{2}-1)$ 然后提供一个商环，代表四元数。在这种商环方法中，四元数的元素对应于关于 理想 A 的陪集。类似地，理想 $B=(X^{2}+1,\ Y^{2}+1)$ 生成一个商环，代表双复数。

这种方法的推广使用两个不可交换不定元 X 和 Y 的自由代数 R⟨X,Y⟩。考虑这三个二次多项式 $X^{2}+1,\ Y^{2}-1,\ XY-YX$。令 A 是由它们生成的理想。那么商环 R⟨X,Y⟩/A 与四元数环同构。

要看到 $(XY)^{2}+1\in A$，请注意

$XY^{2}X=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)-1,$ 所以

$XY^{2}X+1=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)\in A.$ 但是然后

$XY(XY-YX)+XY^{2}X+1\in A.$ 如所要求。

现在考虑由 $X^{2}+1,\ Y^{2}+1,\ XY-YX$ 生成的备选理想 B。 在这种情况下，可以证明 $(XY)^{2}-1\in B$。 环同构 R⟨X,Y⟩/A ≅ R⟨X,Y⟩/B 包含交换 $Y\leftrightarrow XY$ 的基变换。

或者，假设给定普通复数的域 C，而 C[X] 是具有复系数的多项式的环。 那么商 C[X]/(X² + 1) 是双复数的另一种表示。