抽象代数/超复数

术语群论和环论是代数理解的细化，在20世纪的电子和航空时代发展起来。术语超复数可以追溯到蒸汽时代。在很大程度上，超复数系统已经通过群、环和域提供的视觉分辨率而被同化，并且该术语除了历史参考以外，已经不再使用。类似地，复数$C=\{z=x+iy,\ x,y\in R\},\ i^{2}=-1,$ 的名称描述不够充分，根据组合代数理论，可以更好地描述为二元除法 C。

W.R. 汉密尔顿 (1805−1865) 研究了四元数和双四元数

超复数起源于威廉·罗恩·汉密尔顿在 1840 年代对四元数的构造。他的 vision 的遗产在空间向量代数中得以延续：对于向量$v=ai+bj+ck$ 和 $w=di+ej+fk,$，众所周知的乘积是

• 点积：$v\cdot w=ad+be+cf\in R$
• 叉积：$v\times w=(bf-ec)i-(af-dc)j+(ae-db)k\in R^{3}.$

这些乘积是汉密尔顿四元数乘积的剩余部分：$\ \ vw=-v\cdot w+v\times w\in R^{4}.$

1845 年，约翰·T·格雷夫斯和亚瑟·凯莱描述了一个八维超复数系统，现在被称为八元数或凯莱数。它们扩展了四元数，但乘法的结合性消失了。詹姆斯·科克尔挑战了四元数在四维空间中的假设，他提出了结合的超复数系统四元数（1848 年）和共四元数（1849 年）。汉密尔顿也有自己的八维系统（双四元数），在他的四元数讲义（1853 年）中进行了探索，但在他的儿子完成的四元数元素（1865 年）和查尔斯·贾斯珀·乔利编辑的版本（1899 年）中几乎被忽略了。

四元数具有基向量 i、j、k 的反交换性的属性

$ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j.$（在共四元数中$jk=-kj=-i$）。

由于反交换性，向量平方会留下许多被抵消的项

$(ai+bj+ck)^{2}=-a^{2}-b^{2}-c^{2},$ 因此对于 $r=ai+bj+ck,$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1)\ \equiv \ (r^{2}=-1).$

对于任何这样的r，平面{x + y r : x,y 在 R}是一个复数平面，根据欧拉公式，映射$ar\mapsto \cos a+r\sin a$将穿过r的射线映射到该平面上的单位圆的包裹。四元数中的单位球体由这些圆组成，考虑变量r。根据汉密尔顿的说法，单位四元数是一个versor；显然每个versor都可以通过其参数a和r来识别。

W.K. 克利福德（1845−1879）研究了分裂双四元数

当反交换律公理改为交换律时，负一的两个平方根，例如h和i，的乘积hi的平方为$(hi)^{2}=hihi=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.$ 詹姆斯·科克尔的四元数基于这样一个虚数单位，现在它的平方为加一。科克尔开始使用 j，j² = +1，来表示这个新的虚数单位，它不是负一的平方根。四元数是z = w + z j，其中z, w 在 C 中。实四元数$D=\{a+bj:a,b\in R\}$以单位双曲线为特色，与单位圆$\{a+bi:a^{2}+b^{2}=1\}\subset C.$形成对比。圆包围着原点，而双曲线只在平面的二分之一方向上有半径，需要一个共轭双曲线来覆盖另一半，即使那样，它们共有的渐近线，也提供了平面上的更多方向。1873年，威廉·金顿·克利福德利用实四元数来修改汉密尔顿的双四元数：汉密尔顿使用 C（二元数）中的元素作为双四元数q = w + x i + y j + z k的系数，克利福德使用实四元数（现在被称为分裂二元数 D）。克利福德的构造展示了一个从给定的代数生成新代数的过程，该过程被称为张量积：汉密尔顿的双四元数是$C\otimes H$，克利福德的分裂双四元数是$D\otimes H.$

克利福德早熟，特别是在他预见到将引力几何模型化为时间充盈中的山丘和山谷方面。但他生活在集合论、现代逻辑和数学符号，以及抽象代数及其群、环和域的基础出现之前。光的现实之一是其有限速度：每纳秒一英尺，500秒内一个天文单位，或一年内一光年。当一个图使用任何这些单位对作为轴时，穿过原点的对角线表示光的轨迹，一条代表左光束，另一条代表右光束。对角线是双曲线的渐近线，例如$aj\mapsto \cosh a+j\sinh a,$一个实四元数。最终，经过数十年的思考，物理学家意识到这个双曲线是线性速度问题的一个答案：当这样的累积可能超过光速时，v + w 如何成为两个速度的总和？

双曲线位于渐近线之间，不会超过光速。在实四元数系统中，双曲线上的点是$e^{aj}$和$e^{bj},$，代表群$\{e^{xj}:x\in R\},$中的两个速度，即一个双曲线。两个速度的总和是通过它们的乘积$e^{aj}e^{bj}=e^{(a+b)j},$，即双曲线上的另一个元素。1911年之后，参数a被称为快度。显然，狭义相对论的这一方面源于实四元数。

麦克斯韦-克拉克的电磁工作和海因里希·赫兹的工作需要一个合适的背景来对包括时间变量的理论进行理论化。麦克斯韦使用了汉密尔顿的del运算符

$\nabla =i{\frac {\partial }{\partial x}}+j{\frac {\partial }{\partial y}}+k{\frac {\partial }{\partial z}}$ 在《电磁学论著》中，

但四元数代数不适合：它隐含地是一个欧几里德四维空间，因为$qq^{*}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},$ 欧几里德范数的平方。

亚历山大·麦克法兰 (1851−1913) 研究了双曲四元数

在 1890 年代，亚历山大·麦克法兰 提倡使用一个超复数系统进行空间分析，该系统用科克尔虚单位球代替了汉密尔顿虚单位球，科克尔虚单位球的平方为 +1。他保留了四元数的反交换性质，所以$qq^{*}=w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$ 然后在这个双曲四元数系统中，对于球面上的任意r，$\{x+yr:x,y\in R\}$ 是一个分裂二元数平面，包括单位双曲线，适合表示方向为 r 的任何速率下的运动。双曲四元数看起来像是电磁学的优雅模型，直到发现它有不足之处。问题是，双曲四元数中简单的结合乘法性质失效了，虽然它是一个具有有用模型的超复数系统，但失去这种性质使它超出了群论的范围，例如。

一旦建立了向量空间的公理，超复数系统就被包括进来。公理要求一个向量可交换群、一个标量域和操作规则。将向量空间的公理与环的公理一起，在抽象代数的研究中建立了代数的意义。

对于结合超复数系统，约瑟夫·韦德伯恩 在 1907 年消除了所有神秘之处，他证明了任何这样的系统都可以用域上的矩阵环表示。例如，2 x 2 实矩阵形成一个与共四元数同构的代数 M(2,R)，而 2 x 2 复矩阵形成一个与双四元数同构的代数 M(2,C)。这些代数，以及 R、C 和四元数，构成了结合组合代数，它们以以下性质而闻名：

$(pq)(pq)^{*}=(pp^{*})(qq^{*}).$

大约在 1897 年，四项合作努力使数学得到了改善。朱塞佩·皮亚诺 开始组建他的数学公式集，费利克斯·克莱因 带头进行数学百科全书项目，四年一度的国际数学家大会系列开始，促进四元数和相关数学系统研究的国际协会发表了书目和年度回顾。

皮亚诺的努力使数学家们能够使用集合论来压缩概念和证明，使用符号语言。克莱因的百科全书将德语作为主要媒介，而大会则将所有国家聚集在一起。四元数学会 是主要处理超复数的场所，并在 1913 年会长亚历山大·麦克法兰 去世后解散。

超复数系统

最著名的超复数系统是四维四元数、八维八元数和 16 维十六元数，在下表中总结了它们，以及实数和复数系统。

名称	维度	符号
实数	1 = 20	$\mathbb {R}$
复数	2 = 21	$\mathbb {C}$
四元数	4 = 22	$\mathbb {H}$
八元数	8 = 23	$\mathbb {O}$
十六元数	16 = 24	$\mathbb {S}$
2n-元数	2n

根据美国数学家罗伯特·P·C·德·马雷斯 2002 年的一篇论文，在八元数之后是 32 维的帕提翁，64 维的钦根，128 维的罗顿，256 维的伏都教（由托尼·史密斯命名），以及无限延伸。除了“伏都教”这个词之外，这些词都是德·马雷斯命名的。它们在下表中总结。^[1]

名称	维度	符号	词源	其他名称
帕提翁	32 = 25	$\mathbb {P}$	来自《创世纪》的卡巴拉智慧的 32 条路径	三十二元数（$\mathbb {T}$），32 元数
钦根	64 = 26	$\mathbb {X}$	《易经》的 64 个卦象	六十四元数，64 元数
罗顿	128 = 27	$\mathbb {U}$	“麻省奇迹”的马萨诸塞州 128 号公路	一百二十八元数，128 元数
伏都教	256 = 28	$\mathbb {V}$	伏都教或西非伏都教的伊法神系的 256 个神灵	二百五十六元数，256 元数