微积分/双曲函数的导数

双曲函数是一组与三角函数相关的函数，主要是因为它们定义的结果。虽然它们不一定与三角函数的三角形或圆形定义有关，但它们的恒等式使它们看起来非常相似。

然而，这些函数在微积分中很重要，因为它们构成了微积分中一些问题的解集的一部分，并且在应用数学的许多领域中很重要。

介绍双曲函数

穿过 单位双曲线 x² − y² = 1 的射线在点 (cosh a, sinh a)，其中 $a$ 是射线、双曲线和 $x$ 轴之间面积的两倍。对于双曲线下方 $x$ 轴的点，该面积被认为是负的（参见 动画版本，与三角函数（圆形）函数比较）。

第 1.3 节根据参数化定义定义双曲函数，类似于三角函数。

也就是说，将射线从 $x$ 轴正半轴的方向旋转角度 $\theta$（对于 $\theta >0,$ 顺时针旋转，对于 $\theta <0$ 逆时针旋转），会产生该射线与单位双曲线的交点：$A=(x_{A},y_{A})$.

定义为

$\cosh a=x_{A}$

$\sinh a=y_{A}$

$\tanh a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$

其中 $a$ 是射线、双曲线和 $x$ 轴之间面积的两倍。作为这些定义的结果，很明显

(1) $\cosh ^{2}a-\sinh ^{2}a=1$

请记住，类似于 $\sec(x)$、$\csc(x)$ 和 $\cot(x)$，双曲版本的定义如下

$\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {1}{x_{A}}}$

$\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {1}{y_{A}}}$

$\coth a={\frac {\cosh a}{\sinh a}}$

这些定义存在局限性，因为在没有额外工具的情况下，对它们进行微积分运算会很困难。使用双曲函数的指数定义（在第 1.3 节中未定义）使我们能够更轻松地找到导数，这也是本节的目标。

(2) $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

(3) $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

(4) $\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

双曲函数的性质

$\sinh(x)$ 是奇函数

对于所有 $x\in \mathbb {R}$，$\sinh(-x)=-\sinh(x)$。也就是说，$\sinh(x)$ 是一个奇函数。

证明：根据公式 (2)，$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$。如果一个函数是奇函数，那么 $f(-x)=-f(x)$。

${\begin{aligned}\sinh(-x)&={\frac {e^{(-x)}-e^{-(-x)}}{2}}\\&={\frac {e^{-x}-e^{x}}{2}}\\&=-{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-\sinh(x)\qquad \blacksquare \end{aligned}}$

$\cosh(x)$ 是偶函数

对于所有$x\in \mathbb {R}$，$\cosh(-x)=\cosh(x)$。也就是说，$\cosh(x)$ 是一个偶函数。

证明：根据公式 (3)，$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$。如果一个函数是偶函数，那么$f(-x)=f(x)$。

${\begin{aligned}\cosh(-x)&={\frac {e^{(-x)}+e^{-(-x)}}{2}}\\&={\frac {e^{-x}+e^{x}}{2}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cosh(x)\qquad \blacksquare \end{aligned}}$

双曲正弦的倍角公式

对于所有$x\in \mathbb {R}$，

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$

证明：利用公式 (2) 和 (3)，$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$，

${\begin{aligned}\sinh(2x)&={\frac {e^{(2x)}+e^{-(2x)}}{2}}\\&={\frac {e^{4x}-1}{2e^{2x}}}\\&={\frac {\left(e^{2x}-1\right)\left(e^{2x}+1\right)}{2e^{2x}}}\end{aligned}}$

注意到$\sinh(x)\cosh(x)={\frac {e^{4x}-1}{4e^{2x}}}$。将此乘以 2 我们得到 $\sinh(2x)$。因此，

$\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)\qquad \blacksquare$

双曲余弦的倍角公式

对于所有$x\in \mathbb {R}$，

${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\cosh ^{2}(x)+\sinh ^{2}(x)\\&=1+2\sinh ^{2}(x)\\&=2\cosh ^{2}(x)-1\end{aligned}}$

证明:

双曲函数的导数

双曲正弦的导数

对于所有$x\in \mathbb {R}$，

${\frac {d}{dx}}\left(\sinh x\right)=\cosh x$

证明:

双曲余弦的导数

对于所有$x\in \mathbb {R}$，

${\frac {d}{dx}}\left(\cosh x\right)=\sinh x$

证明: