微积分/指数和对数函数的导数

对数函数

我们首先要看无理数 $e$，以便展示它在指数和对数函数的导数中使用的特殊性质。正如在 代数部分 中提到的，$e$ 的值大约是 $e\approx 2.718282$，但它也可以计算为 无限极限

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

现在我们使用导数的形式定义来求 $\ln(x)$ 的导数

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)=\lim _{h\to 0}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

令 $n={\frac {x}{h}}$。注意，当 $n\to \infty$ 时，我们得到 $h\to 0$。所以我们可以将我们的极限重新定义为

$\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\frac {n}{x}}={\frac {1}{x}}\ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)={\frac {1}{x}}\ln(e)={\frac {1}{x}}$

这里我们可以将自然对数取到极限之外，因为它与极限无关（我们可以选择不这样做）。然后我们代入了 $e$ 的值。

自然对数的导数 ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

如果需要，我们可以对一个广义的底数重复这个过程，但更简单的方法是使用对数的性质，并认识到

$\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

由于 ${\frac {1}{\ln(a)}}$ 是一个常数，我们可以直接将其移出导数运算

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)}}\cdot {\frac {d}{dx}}\ln(x)$

这使我们得到了以下广义形式：

对数的导数 ${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)x}}$

对数导数的另一种方法是参考对数作为双曲线 *y* = 1/*x* 的求积的原始表达式。这种方法在 § 1.8 中对微积分的扩展中进行了描述。

指数函数

我们将采用两种不同的方法来求 $\ln(e^{x})$ 的导数。第一种方法是

${\frac {d}{dx}}\ln(e^{x})={\frac {d}{dx}}x=1$

第二种方法是

${\frac {d}{dx}}\ln(e^{x})={\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)$

注意，在第二种方法中我们使用了链式法则。因此

${\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)=1$

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

因此我们证明了以下规则

指数函数的导数 ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

现在我们已经推导出一个特例，让我们扩展到一般情况。假设 $a$ 是一个正实常数，我们希望计算

${\frac {d}{dx}}a^{x}$

数学中最古老的技巧之一是将问题分解成我们已经知道可以处理的形式。由于我们已经确定了 $e^{x}$ 的导数，我们将尝试将 $a^{x}$ 改写成这种形式。

利用 $e^{\ln(c)}=c$ 和 $\ln(a^{b})=b\cdot \ln(a)$ ，我们发现

$a^{x}=e^{\ln(a)x}$

因此，我们只需应用链式法则

${\frac {d}{dx}}e^{\ln(a)x}=e^{\ln(a)x}\cdot {\frac {d}{dx}}[\ln(a)x]=\ln(a)a^{x}$

指数函数的导数 ${\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}$

对数微分

我们可以利用对数的性质，特别是自然对数，来微分更复杂的函数，比如含有许多项的乘积、复合函数的商，或者指数为变量或函数的函数。我们通过对等式两边取自然对数，利用下面的对数定律重新排列项，然后隐式地对等式两边进行微分，最后乘以 $y$ 。

$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ $\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ $\log(a^{n})=n\log(a)$

请参考下面的例子。

例1

现在我们将利用对数微分法证明幂法则的正确性。

${\frac {d}{dx}}\ln(x^{n})=n{\frac {d}{dx}}\ln(x)=nx^{-1}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x^{n})={\frac {1}{x^{n}}}\cdot {\frac {d}{dx}}x^{n}$

因此

${\frac {1}{x^{n}}}\cdot {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{-1}$

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

示例 2

假设我们要对以下函数进行求导 $y={\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}$ 我们对等式两边取自然对数 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln \left({\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}\right)\\&=\ln {\big (}(6x^{2}+9)^{2}{\big )}-\ln {\big (}(3x^{3}-2)^{\frac {1}{2}}{\big )}\\&=2\ln(6x^{2}+9)-{\frac {\ln(3x^{3}-2)}{2}}\end{aligned}}$ 对等式两边进行隐式求导，并使用链式法则 ${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}&=2\cdot {\frac {12x}{6x^{2}+9}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {9x^{2}}{3x^{3}-2}}\\&={\frac {24x}{6x^{2}+9}}-{\frac {{\frac {9}{2}}x^{2}}{3x^{3}-2}}\\&={\frac {24x(3x^{3}-2)-{\frac {9}{2}}x^{2}(6x^{2}+9)}{(6x^{2}+9)(3x^{3}-2)}}\end{aligned}}$ 乘以 $y$ , 即原函数 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}\cdot {\frac {24x(3x^{3}-2)-{\frac {9}{2}}x^{2}(6x^{2}+9)}{(6x^{2}+9)(3x^{3}-2)}}$

示例 3

让我们对以下函数进行求导 $y=x^{x}$ 对等式两边取自然对数 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln(x^{x})\\&=x\ln(x)\end{aligned}}$ 然后我们对等式两边进行求导，并使用乘积法则和链式法则 ${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}&=\ln(x)+x{\frac {1}{x}}\\&=\ln(x)+1\end{aligned}}$ 将原始函数 $y$ 乘以 ${\frac {dy}{dx}}=x^{x}(\ln(x)+1)$

例 4

取一个函数 $y=x^{6\cos(x)}$ 然后 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln(x^{6\cos(x)})\\&=6\cos(x)\ln(x)\end{aligned}}$ 然后我们求导 ${\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=-6\sin(x)\ln(x)+{\frac {6\cos(x)}{x}}$ 最后乘以 $y$ ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=y\left(-6\sin(x)\ln(x)+{\frac {6\cos(x)}{x}}\right)\\&=6x^{6\cos(x)}\left({\frac {\cos(x)}{x}}-\sin(x)\ln(x)\right)\end{aligned}}$