微积分/微分/导数的应用/练习

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相对极值

找到以下函数的相对最大值和最小值（如果有）。

1.

f(x)={\frac {x}{x+1}}

无

2.

f(x)={\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}

在点

(1,0)

处取得最小值

在点

(1,0)

处取得最小值

3.

f(x)=x^{2}+{\frac {2}{x}}

在

x=1

处取得相对最小值

在

x=1

处取得相对最小值

4.

f(s)={\frac {s}{1+s^{2}}}

在

s=-1

处取得相对最小值
在

s=1

处取得相对最大值

在

s=-1

处取得相对最小值
在

s=1

处取得相对最大值

5.

f(x)=x^{2}-4x+9

在

x=2

处取得相对最小值

在

x=2

处取得相对最小值

6.

f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}

在

x=-1

处取得相对最小值
在

x=1

处取得相对最大值

在

x=-1

处取得相对最小值
在

x=1

处取得相对最大值

解答

函数的值域

7. 证明表达式

x+{\frac {1}{x}}

无法取任何严格介于 2 和 -2 之间的数值。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由于 $f''(-1)$ 为负值， $x=-1$ 对应于一个相对最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

对于 $x<-1$ ， $f'(x)$ 为正值，这意味着函数是递增的。从非常负的 $x$ 值开始， $f$ 从一个非常负的值递增到在 $x=-1$ 处达到相对最大值 $-2$ 。
对于 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 为负值，这意味着函数是递减的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由于 $f''(1)$ 为正数， $x=1$ 对应于一个相对最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 区间内，函数从 $-2$ 递减到 $-\infty$ ，然后跳到 $+\infty$ 并继续递减直到到达 $x=1$ 的相对最小值 $2$ 。
对于 $x>1$ ， $f'(x)$ 为正数，因此函数从最小值 $2$ 递增。

以上分析表明，函数值域在

-2

和

2

之间存在间断。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由于 $f''(-1)$ 为负值， $x=-1$ 对应于一个相对最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

对于 $x<-1$ ， $f'(x)$ 为正值，这意味着函数是递增的。从非常负的 $x$ 值开始， $f$ 从一个非常负的值递增到在 $x=-1$ 处达到相对最大值 $-2$ 。
对于 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 为负值，这意味着函数是递减的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由于 $f''(1)$ 为正数， $x=1$ 对应于一个相对最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 区间内，函数从 $-2$ 递减到 $-\infty$ ，然后跳到 $+\infty$ 并继续递减直到到达 $x=1$ 的相对最小值 $2$ 。
对于 $x>1$ ， $f'(x)$ 为正数，因此函数从最小值 $2$ 递增。

以上分析表明，函数值域在

-2

和

2

之间存在间断。

绝对极值

确定以下函数在给定域上的绝对最大值和最小值。

8.

f(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}+1

在

[0,3]

上。

最大值为

(3,{\tfrac {11}{2}})

; 最小值为

(1,{\tfrac {5}{6}})

最大值为

(3,{\tfrac {11}{2}})

; 最小值为

(1,{\tfrac {5}{6}})

9.

f(x)=\left({\frac {4}{3}}x^{2}-1\right)x

在

[-{\tfrac {1}{2}},2]

上。

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

解答

确定变化区间

找到以下函数递增或递减的区间

10.

f(x)=10-6x-2x^{2}

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

; 递减在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

; 递减在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

11.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

递减在

(1,3)

; 递增在其他地方

递减在

(1,3)

; 递增在其他地方

12.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

递增在

(-2,3)

; 递减在其他地方

递增在

(-2,3)

; 递减在其他地方

13.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

递增在

(-2,3)

; 递减在其他地方

递增在

(-2,3)

; 递减在其他地方

14.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

递减在

(-2,4)

; 递增在其他地方

递减在

(-2,4)

; 递增在其他地方

15.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

递减在

(-2,6)

; 递增在其他地方

递减在

(-2,6)

; 递增在其他地方

解答

确定凹凸区间

找到以下函数向上凹或向下凹的区间

16.

f(x)=10-6x-2x^{2}

处处凹陷

17.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

18.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

19.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

20.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

在

(-\infty ,1)

上凹陷; 在

(1,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,1)

上凹陷; 在

(1,\infty )

上凸起

21.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

解答

文字题

22. 你从拐角处探头望去，一只 64 米远的迅猛龙发现了你。你以每秒 6 米的速度逃跑。迅猛龙追赶你，以

4t

米每秒的速度向你刚离开的拐角跑去（时间

t

以秒计，从发现你开始算起）。在你跑完 4 秒后，迅猛龙距离拐角 32 米。此时，死亡以多快的速度逼近你即将被撕碎的肉体？也就是说，你和迅猛龙之间的距离变化率是多少？

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

23. 两个自行车同时从一个十字路口出发。一辆向北行驶，速度为

12{\rm {\,mph}}

，另一辆向东行驶，速度为

5{\rm {\,mph}}

。一小时后，两辆自行车之间的距离以多快的速度增加？

13{\rm {\,mph}}

13{\rm {\,mph}}

24. 你正在制作一个容积为

200{\rm {\,m^{3}}}

的罐子，罐身用金子制作，顶部和底部用银子制作。假设每平方米金子价值 10 美元，每平方米银子价值 1 美元。这种罐子的最低成本是多少？

$878.76

25. 一个农民投资了

216{\rm {\,cm}}

的篱笆，用来建造一个户外围栏，用来展示三种不同的动物，以供出售。为了降低成本，他用户外谷仓的一面墙作为围栏区域的一边，该围栏区域能够将整个区域包围起来。他希望动物活动的内部区域是全等的（即，他希望将总面积分成三个相等的区域）。在这些条件下，动物所能活动的最大内部面积是多少？

972{\rm {\,cm^{2}}}

972{\rm {\,cm^{2}}}

26. 在半径为

r

的圆内，可以内接（使矩形的角点在圆周上）的最大矩形面积是多少？

2r^{2}

.

2r^{2}

.

27. 将一个圆柱体放入一个半径为

R=3{\rm {\,in}}

的玻璃球形展示柜中。（球体将围绕圆柱体形成。）在这样的展示柜中，圆柱体能容纳的最大体积是多少？

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

28. 一个身高

6\,{\rm {ft}}

的人正从一盏

15

英尺高的灯下走开。这个人以

6

英尺每秒的速度远离灯光。这个人投下的影子，其长度相对于时间的变化速度（速度而非速率）是多少？

4{\rm {\,ft/s}}

.

4{\rm {\,ft/s}}

.

29. 一艘独木舟正被一根绷紧的绳子拉向码头（垂直于水面）。独木舟在被拉动时垂直于水面。绳子以恒定的 $5\,{\rm {ft/s}}$ 速度被拉入。码头距离水面 $5\,{\rm {ft}}$ 。回答以下问题（a）到（b）。

(a) 当绳子伸出

13\,{\rm {ft}}

时，船以多快的速度靠近码头？

13{\rm {\,ft/s}}

.

13{\rm {\,ft/s}}

.

(b) 因此，绳子与码头之间的角度变化率是多少？

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

30. 一位非常热情的家长正在用摄像机拍摄你班上的一名运动员参加

100\,{\rm {m}}

的比赛。家长将运动员置于画面中央，并从直线跑道上

2\,{\rm {m}}

的距离拍摄。你班上的运动员以恒定的

4\,{\rm {m/s}}

速度跑步。如果运动员在家长直接拍摄（运动员的运动方向与家长的视线垂直）之后半秒钟经过家长，那么拍摄角度的变化率是多少？

1\,{\rm {rad/s}}

1\,{\rm {rad/s}}

解答

函数绘图

对于以下每个问题，画出一个满足给定特征的函数图

30.

f(1)=f(-2)=0,\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0,\ {\mbox{ vertical asymptote at }}x=-3,\ f'(x)>0{\mbox{ on }}(0,2),

f'(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (-3,0)\cup (2,\infty ),\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-3,1)\cup (3,\infty ),\ f''(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (1,3).

有很多函数满足所有条件。这里是一个例子

有很多函数满足所有条件。这里是一个例子

31.

f{\mbox{ has domain }}[-1,1],\ f(-1)=-1,\ f(-{\tfrac {1}{2}})=-2,\ f'(-{\tfrac {1}{2}})=0,\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-1,1)

有很多函数满足所有条件。这里是一个例子

有很多函数满足所有条件。这里是一个例子

解答

近似问题

假设这些问题中， $\pi \approx 3.14$ 和 $e\approx 2.718$ ，除非另有说明。可以使用计算器或设计计算机程序，但必须指明方法和每一步的必要理由。

35. 使用任何方法近似

\sin(3)

。如果您使用牛顿法或欧拉法，请最多进行三次迭代。

示例：使用欧拉法，步长为

\Delta x=0.14

和

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有关详细信息，请参见解决方案页面

示例：使用欧拉法，步长为

\Delta x=0.14

和

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有关详细信息，请参见解决方案页面

36. 使用任何方法近似

{\sqrt {2}}

。如果您使用牛顿法或欧拉法，请最多进行三次迭代。

示例：使用牛顿-拉夫森方法，通过

2

次迭代近似

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

。有关详细信息，请参见解决方案页面

示例：使用牛顿-拉夫森方法，通过

2

次迭代近似

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

。有关详细信息，请参见解决方案页面

37. 使用任何方法近似

\ln(3)

。如果您使用牛顿法或欧拉法，请在最多 3 次迭代中完成。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用局部点线性化。有关详细信息，请参阅解决方案页面。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用局部点线性化。有关详细信息，请参阅解决方案页面。

解答

高级理解

45. 考虑可微函数 $f(x)$ 对于所有 $x>-2$ 以及连续函数 $g(x)$ 如下所示，其中 $g(x)$ 对于所有 $x\geq 1$ 是线性的，对于所有 $x\in (-2,1)\cup (1,\infty )$ 是可微的，并且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 对于所有 $x\geq -2$ 是连续的。