微积分/积分的进一步方法/内容

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基本积分规则

参见 微积分/定积分.

${\begin{aligned}&\int 0\,du=C\\&\int (k\cdot u)du=k\cdot \int u\,du+C\\&\int (u\pm v)du=\int u\,du\pm \int v\,du+C\end{aligned}}$

分部积分

参见 微积分/积分技巧/分部积分.

对于两个变量$x$ 的函数 $u$ 和 $dv$，

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

其中$u$ 是根据 **LIPET** 优先级选择的

• L 对数
• I 反三角函数
• P 多项式
• E 指数
• T 三角函数

反常积分

参见 微积分/反常积分.

对于任何变量 $x$ 的函数 $f$，在给定的无限域上连续

${\begin{aligned}&\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\\&\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\\&\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{\infty }f(x)dx\end{aligned}}$

对于任何在给定区间上连续的变量 $x$ 的函数 $f$，但在 (1) $a$，(2) $b$，或某些 (3) $c\in [a,b]$ 处存在无限间断

${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\lim _{c\to b^{-}}\int \limits _{a}^{c}f(x)dx&(1)\\\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\lim _{c\to a^{+}}\int \limits _{c}^{b}f(x)dx&(2)\\\int \limits _{a}^{b}f(x)dx&=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx&(3)\end{aligned}}$