微积分/隐函数求导

通常，你会遇到以显式形式表达的函数，即 $y=f(x)$ 的形式。要找到 $y$ 相对于 $x$ 的导数，你对等式两边求导，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}[f(x)]=f'(x)$

但假设你有一个 $f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}=g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}$ 的关系。在这种情况下，将 $y$ 解为 $x$ 的函数可能不方便，甚至不可能。一个很好的例子是关系 $y^{2}+2yx+3=5x$。在这种情况下，你可以利用 **隐函数求导** 来求导数。为此，对等式两边求导，并解出 $y'$。也就是说，形成

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\bigr ]}={\frac {d}{dx}}{\big [}g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\big ]}$

并解出 ${\frac {dy}{dx}}$。每当你对一个变量相对于另一个变量求导时，都需要使用链式法则。例如，

${\frac {d}{dx}}(y^{3})={\frac {d}{dy}}[y^{3}]\cdot {\frac {dy}{dx}}=3y^{2}\cdot y'$

隐函数求导和链式法则

要理解隐函数微分法并有效地使用它，重要的是要认识到其核心思想就是链式法则。首先让我们回顾一下链式法则。假设我们有两个可微函数 $f(x),g(x)$，我们想知道函数 $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ 的导数，链式法则指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

也就是说，我们先对 $f$ 进行正常的求导，然后代入 $g$，最后将结果乘以 $g$ 的导数。

现在假设我们要对像 $y^{2}$ 这样的项求导，相对于 $x$ ，我们认为 $y$ 是 $x$ 的函数，所以在接下来的计算中，我们将其写成 $y(x)$ ，而不是仅仅写成 $y$ 。项 $y^{2}$ 只是 $f(x)=x^{2}$ 和 $y(x)$ 的复合函数。也就是说，$f{\bigl (}y(x){\bigr )}=y(x)^{2}$ 。回想一下 $f'(x)=2x$ ，那么链式法则指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}y(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}y(x){\bigr )}\cdot y'(x)=2y(x)y'(x)$

当然，我们通常认为 $y$ 是 $x$ 的函数，而并非总是写成 $y(x)$ ，所以这个计算通常简写为

${\frac {d}{dx}}(y^{2})=2yy'$

不要因为我们还不知道 $y'$ 是什么而感到困惑，它只是一个函数，而且经常地，如果我们对两个相等的量求导，那么就可以显式地解出 $y'$ （正如我们将在下面的例子中看到的）。这使得它成为求导的一种非常强大的技术。

显式微分

例如，假设我们对$y$ 相对于 $x$ 的导数感兴趣，其中 $x,y$ 由以下等式关联

$x^{2}+y^{2}=1$

此等式表示一个以原点为中心，半径为 1 的圆。请注意 $y$ 不是 $x$ 的函数，因为它不满足 垂直线测试（例如，当 $x=0$ 时，$y=\pm 1$）。

为了找到 $y'$，首先我们可以分离变量得到

$y^{2}=1-x^{2}$

两边开平方，我们得到 $y$ 的两个独立函数 

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

我们可以将其改写为分数幂

$y=\pm (1-x^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用链式法则，我们得到

$y'=\pm {\frac {(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)}{2}}=\mp {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

简化并代入 $y$ 到这个方程中，我们得到

$y'=-{\frac {x}{y}}$

隐函数求导

使用相同的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

首先，对等式两边求导 $x$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}+y^{2}]={\frac {d}{dx}}[1]$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}]+{\frac {d}{dx}}[y^{2}]=0$

为了对等式左侧的第二项（称为 $f(y(x))=y^{2}$）求导，使用链式法则

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2y\cdot y'$

所以等式变为

$2x+2yy'=0$

分离变量

$2yy'=-2x$

将等式两边除以 $2y$，并简化得到与上面相同的结论

$y'=-{\frac {2x}{2y}}$

$y'=-{\frac {x}{y}}$

应用

当求导无法显式求导的方程时，隐式求导非常有用，因为无法分离变量。

例如，考虑方程：

$x^{2}+xy+y^{2}=16$

对等式两边求导（记住对项 $xy$ 使用乘积法则）

$2x+y+xy'+2yy'=0$

将包含 $y'$ 的项分离

$xy'+2yy'=-2x-y$

提取公因子 $y'$ 并将等式两边除以另一项

$y'={\frac {-2x-y}{x+2y}}$

例子

$xy=1$

可以解为

$y={\frac {1}{x}}$

然后求导

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

然而，使用隐函数求导也可以像这样求导

${\frac {d}{dx}}[xy]={\frac {d}{dx}}[1]$

使用乘积法则

$x{\frac {dy}{dx}}+y=0$

解出 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$

注意，如果我们将 $y={\frac {1}{x}}$ 代入 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$，我们最终得到 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$。

应用：反三角函数

反正弦、反余弦、反正切。这些函数允许你根据某个角度的正弦、余弦或正切来确定该角度。

首先，让我们从反正弦开始，使得

$y=\arcsin(x)$

为了找到 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，我们首先需要将其分解成我们可以处理的形式

$x=\sin(y)$

然后我们可以对它求导

$1=\cos(y)\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

…并解出 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ 

$y=\arcsin(x)$ 给我们这个单位三角形。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\cos(y)}}$

在这一点上，我们需要回到单位三角形。由于 $y$ 是角度，对边是 $\sin(y)=x$ ，邻边是 $\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ，斜边是 1。由于我们已经根据单位三角形确定了 $\cos(y)$ 的值，我们可以将其代入上面的方程，得到

反正弦函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

我们可以对反余弦函数和反正切函数使用相同的方法

反余弦函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

反正切函数的导数 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$